【11-12学年高中数学,1.1.2,导数的概念同步练习,新人教A版选修2-2】
选修2-2 1.1 第2课时 导数的概念 一、选择题 1．函数在某一点的导数是( ) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt. 当Δt→0时，→18，故应选B. 3．y＝x2在x＝1处的导数为( ) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 [答案] B [解析] ∵f(x)＝x2，x＝1， ∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2 ∴＝2＋Δx 当Δx→0时，→2 ∴f′(1)＝2，故应选B. 4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( ) A．37 B．38 C．39 D．40 [答案] D [解析] ∵＝＝40＋4Δt， ∴s′(5)＝li ＝li (40＋4Δt)＝40.故应选D. 5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量 B.＝叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y′ D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0) [答案] C [解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C. 6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) B．f′(x0)＝li[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝ D．f′(x0)＝li [答案] D [解析] 由导数的定义知D正确．故应选D. 7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( ) A．4a B．2a＋b C．b D．4a＋b [答案] D [解析] ∵＝ ＝4a＋b＋aΔx， ∴y′|x＝2＝li ＝li (4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故应选D. 8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．直线 [答案] D [解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D. 9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( ) A．0 B．3 C．－2 D．3－2t [答案] B [解析] ∵＝＝3－Δt， ∴s′(0)＝li ＝3.故应选B. 10．设f(x)＝，则li 等于( ) A．－ B. C．－ D. [答案] C [解析] li ＝li ＝li ＝－li ＝－. 二、填空题 11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则 li＝________；
li ＝________. [答案] －11，－ [解析] li ＝－li ＝－f′(x0)＝－11；
li ＝－li ＝－f′(x0)＝－. 12．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________． [答案] 0 [解析] ∵Δy＝－ ＝Δx－1＋＝， ∴＝.∴y′|x＝1＝li ＝0. 13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______． [答案] 2 [解析] ∵＝＝a， ∴f′(1)＝li ＝a.∴a＝2. 14．已知f′(x0)＝li ，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li 的值是________． [答案] 8 [解析] li ＝li ＋li . 由于f(3)＝2，上式可化为 li －3li ＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题 15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)． [解析] 由导数定义有f′(x0) ＝li ＝li ＝li ＝2x0， 16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解析] 位移公式为s＝at2 ∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2 ∴＝at0＋aΔt， ∴li ＝li ＝at0， 已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s， ∴at0＝800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s. 17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1) (2)f′(1)． [解析] (1)＝ ＝＝2＋Δx. (2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由． [解析] f(x)＝ Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx) ＝ ∴ ＝ (1＋Δx)＝1， ＝ (－1－Δx)＝－1， ∵ ≠ ，∴Δx→0时，无极限． ∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)
