11-12学年高中数学,1.2.1,几个常用的函数的导数同步练习,新人教A版选修2-2
选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数 一、选择题 1．下列结论不正确的是( ) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 [答案] D 2．若函数f(x)＝，则f′(1)等于( ) A．0 B．－ C．2 D. [答案] D [解析] f′(x)＝()′＝， 所以f′(1)＝＝，故应选D. 3．抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程是( ) A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0 [答案] A [解析] ∵f(x)＝x2， ∴f′(2)＝li ＝li ＝1. ∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0. 4．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝( ) A．0 B．3x2 C．8 D．12 [答案] D [解析] f′(2)＝ ＝ ＝ (6Δx＋12)＝12，故选D. 5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 [答案] A [解析] 若α＝2，则f(x)＝x2， ∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 6．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D [解析] ∵y＝x3＋x2－x－1 ∴＝ ＝4＋4Δx＋(Δx)2， ∴y′|x＝1＝li ＝li[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4. 故应选D. 7．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1) C．(1,1) D. [答案] C [解析] 设点P的坐标为(x0，y0)， ∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2， ∴x0＝1，∴y0＝x＝1，即P(1,1)，故应选C. 8．已知f(x)＝f′(1)x2，则f′(0)等于( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] A [解析] ∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝2f′(1)x，∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0.故应选A. 9．曲线y＝上的点P(0,0)的切线方程为( ) A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在 [答案] B [解析] ∵y＝ ∴Δy＝－ ＝ ＝ ∴＝ ∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在， ∴切线方程为x＝0. 10．质点作直线运动的方程是s＝，则质点在t＝3时的速度是( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] Δs＝－＝ ＝ ＝ ∴li ＝＝， ∴s′(3)＝ .故应选A. 二、填空题 11．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为________． [答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动 [解析] 由导数的物理意义可知：y′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 12．若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是________． [答案] (2,4) [解析] 设切点坐标为(x0，x)， 因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)． 13．过抛物线y＝x2上点A的切线的斜率为______________． [答案] [解析] ∵y＝x2，∴y′＝x ∴k＝×2＝. 14．(2010·江苏，8)函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． [答案] 21 [解析] ∵y′＝2x，∴过点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 三、解答题 15．过点P(－2,0)作曲线y＝的切线，求切线方程． [解析] 因为点P不在曲线y＝上， 故设切点为Q(x0，)，∵y′＝， ∴过点Q的切线斜率为：＝，∴x0＝2， ∴切线方程为：y－＝(x－2)， 即：x－2y＋2＝0. 16．质点的运动方程为s＝，求质点在第几秒的速度为－. [解析] ∵s＝， ∴Δs＝－ ＝＝ ∴li ＝＝－.∴－＝－，∴t＝4. 即质点在第4秒的速度为－. 17．已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；
(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程． [解析] ∵y＝，∴y′＝－. (1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数． 即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2. (2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上． 则可设过该点的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)． 解得a＝，代回方程①整理可得：
切线方程为y＝－4x＋4. (3)设切点坐标为A，则切线斜率为k＝－＝－，解得a＝±，那么A，A′.代入点斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切线方程为y＝－x＋或y＝－x－. 18．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积． [解析] 两曲线方程联立得解得. ∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2， ∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示． ∴S＝×1×＝.
