高考卷,普通高等学校招生考试安徽理

2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：
1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。

4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4Πr2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式 1+2+…+n V= 12+22+…+n2= 其中R表示球的半径 13+23++n3= 第Ⅰ卷（选择题共55分） 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为 (A) （B） (C) (D) (2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 (C)充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 (3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 (A)a＜－1 (B)≤1 (C) ＜1 （D）a≥1 （4）若a为实数，＝－i，则a等于 （A） （B）－ （C）2 （D）－2 （5）若，，则的元素个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （6）函数的图象为C，：
①图象关于直线对称; ②函数在区间内是增函数; ③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中正确论断的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么 的最小值为 （A） （B） （C） （D） （8）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为 （A） （B） （C）（D） （9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） （10）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 （A）－ （B） （C） （D） （11）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 （A）0 （B）1 （C）3 （D）5 2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 第Ⅱ卷(非选择题 共95分) 注意事项: 请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效. 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x3+)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 . （13）在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用表示）. （14）如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－1Pn－1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）. ①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体. 三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分） 已知0＜a＜的最小正周期，求. (17) (本小题满分14分) 如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2. （Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；

（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）. (18) (本小题满分14分) 设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1. (19) (本小题满分12分) 如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C. （Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值. (20) (本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数. （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望Eξ；

（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）. (21) (本小题满分14分) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列. 2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B C C A C D B D (1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为，选D。

(2) 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A。

(3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。

（4）若a为实数，＝－i，则，a=－，选B。

（5）=，=，∴ =，其中的元素个数为2，选C。

（6）函数的图象为C ①图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；
①正确；
②x∈时，∈(－，)，∴ 函数在区间内是增函数；
②正确；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到，得不到图象，③错误；
∴ 正确的结论有2个，选C。

（7）点在平面区域上，画出可行域如图，点在圆上，那么 的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y+1=0的距离减去半径1，即为－1，选A。

（8）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，则OB=1，OP=，BP=a，由解得，∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－)，∴ 与两点间的球面距离为，选C。

（9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。

（10）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率==－=，选B。

（11）定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5，选D。

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 题号 12 13 14 15 答案 7 ①③④⑤ (12)若(2x3+)n的展开式中含有常数项，为常数项，即=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7. （13）在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= =. （14）如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ∴ ，，，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为. 整理得=。

(15)在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；
. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；
④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；
⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。

.三、解答题 16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为为的最小正周期，故． 因，又． 故． 由于，所以 ． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则有． A B C D （Ⅰ）证明：
． ． 与平行，与平行， 于是与共面，与共面． （Ⅱ）证明：， ， ，． 与是平面内的两条相交直线． 平面． 又平面过． 平面平面． （Ⅲ）解：． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． ． 二面角的大小为． 解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：平面，平面． ，，平面平面． A B C D 于是，． 设分别为的中点，连结， 有． ， 于是． 由，得， 故，与共面． 过点作平面于点， 则，连结， 于是，，． ，． ，． 所以点在上，故与共面． （Ⅱ）证明：平面，， 又（正方形的对角线互相垂直）， 与是平面内的两条相交直线， 平面． 又平面过，平面平面． （Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，， 根据三垂线定理，有． 过点在平面内作于，连结， 则平面， 于是， 所以，是二面角的一个平面角． 根据勾股定理，有． ，有，，，． ，， 二面角的大小为． 18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有， 故， 于是， 列表如下：
2 0 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值． （Ⅱ）证明：由知，的极小值． 于是由上表知，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有． 19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分． x y B A O a Ｃ D 解：（Ⅰ）由题意知，． 因为，所以． 由于，故有．　（1） 由点的坐标知， 直线的方程为． 又因点在直线上，故有， 将（1）代入上式，得， 解得． （Ⅱ）因为，所以直线的斜率为 ． 所以直线的斜率为定值． 20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6 （Ⅱ）数学期望为． （Ⅲ）所求的概率为． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分． 解：（Ⅰ）我们有． （Ⅱ），对反复使用上述关系式，得 ， ① 在①式两端同乘，得 ② ②①，得 ． 即． 如果记，， 则． 其中是以为首项，以为公比的等比数列；
是以为首项，为公差的等差数列．