江苏省盐城市2020届高三数学一轮复习学案第19讲正弦定理与解三角形（无答案）

盐城市2020届高三数学一轮复习导学案 第19讲 正弦定理与解三角形 【课堂引入】 1、正弦定理的内容分别是什么？公式的变形形式有哪些？ 2、正弦定理在已知三角形的哪些元素时使用？ 【问题导学】 一、考纲导读：掌握正弦定理，并能用正弦定理和三角公式解斜三角形. 二、知识梳理 1. 利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理. 正弦定理:　　　　　　　　　　　　(其中R为△ABC的外接圆的半径,下同).   变形:(1) a=2Rsin A,b=　　　　,c=　　　　; (2) sin A=　　　　,sin B=　　　　,sin C=　　　　;  (3) a∶b∶c=　　　　　　　　　; (4) asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC(等比性质). 2. 利用正弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题: (1) 已知两角与任一边,求其他两边和一角; (2) 已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 对于“已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型,可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法. 如:已知a,b和A,用正弦定理求B时解的情况如下: ①若A为锐角,则a<bsinA,　　　　解;a=bsinA,　　　　解;bsinA<a<b,　　　　解;a≥b,　　　　解. 　　a<bsin A　无解 a=bsin A　一解 bsin A<a<b　两解 a≥b　一解 ②若A为直角或钝角,则a≤b,　　　　解;a>b,　　　　解. a≤b　无解　　　a>b　一解 3. 由正弦定理,可得三角形面积公式: S△ABC=12absin C=　　　　　　　　= 　　　　　　=　　　　　　　　=　　　　　　　　.  4. 三角形内角定理的变形:由A+B+C=π,知A=π-(B+C),可得出:sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C). 而A2=π2-B+C2,有sinA2=cosB+C2,cosA2=sinB+C2. 三、回归课本 1. 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2bsin A,则B=　　　　.  2. 在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,那么AC=　　　　.   3. 在△ABC中,若a=2,b=3,C=π6,则△ABC的面积为　　　　.  4. 在△ABC中,若a=43,c=4,C=30°,则A=　　　　.  5. 在△ABC中,若A=60°,a=3,则a+bsinA+sinB=　　　　.  四、考点研析 考点一　利用正弦定理判断三角形的形状 典例1 在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 变式 在△ABC中,若bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 考点二　利用正弦定理解三角形 典例2 在△ABC中,已知a+ba=sinBsinB-sinA,且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.(1) 求角B的大小;(2) 求a+cb的取值范围. 变式1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB. (1) 求角B的大小;(2) 求sinA+sinC的取值范围. 变式2 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________. 考点三　利用正弦定理解三角形的面积问题 典例3 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bc=233,A+3C=π. (1) 求cosC的值;(2) 若b=33,求△ABC的面积. 变式 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sinB=3cosB. (1) 若cosA=13,求sinC的值;(2) 若b=7,sinA=3sinC,求△ABC的面积. 五、课堂练习 1.在△ABC中,已知a=23,b=2,A=60°,则B=　　　　.  2. 在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b.若2asinB=3b,则A=　　　　.  3. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为　　　　.  4.在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为33,则BC的长为　　　　.  5. 在斜三角形ABC中,已知tanA+tanB+tanAtanB=1. (1) 求角C的大小;(2) 若A=15°,AB=2,求△ABC的周长.