统编版数学九年级上期末测试卷
人教版九年级上册 期末试卷（1） 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 2．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ） A． B．2 C． D．3 3．（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件是（ ） A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件 4．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 5．（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ） A．9% B．8.5% C．9.5% D．10% 6．（3分）甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．（3分）二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ） A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 8．（3分）函数y=的图象经过（1，﹣1），则函数y=kx﹣2的图象是（ ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（ ） A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定 10．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ） A． B．5 C． D． 二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分） 11．（4分）反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足 ． 12．（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的 倍． 13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一个根为零，则a的值为 ． 14．（4分）已知==，则 = ． 15．（4分）如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 ． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= ． 17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC= ． 18．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为 ． 三、解答题：（共9道题，总分88分） 19．（8分）解方程 （1）2x2﹣2x﹣5=0；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 20．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 21．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 22．（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b． （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果． （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；
否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释． 23．（10分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 24．（10分）如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）． 25．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 26．（10分）如图，P1、P2是反比例函数（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形． （1）求此反比例函数的解析式；
（2）求A2点的坐标． 27．（12分）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点． （1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；
若存在，请求出EF的长． 参考答案与试题解析 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程． （4）二次项系数不为0． 【解答】解：
A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误． 故选：A． 【点评】判断一个方程是不是一元二次方程：
首先要看是不是整式方程；
然后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 这是一个需要识记的内容． 2．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ） A． B．2 C． D．3 【考点】翻折变换（折叠问题）；
勾股定理；
矩形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案． 【解答】解：设BE=x， ∵AE为折痕， ∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°， Rt△ABC中，AC===5， ∴Rt△EFC中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣X， ∴（4﹣x）2=x2+22， 解得x=． 故选A． 【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；
解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键． 3．（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件是（ ） A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件 【考点】中点四边形． 【分析】因为菱形的四边相等，再根据三角形的中位线定理可得，对角线AC与BD需要满足条件是相等． 【解答】解：∵四边形EFGH是菱形， ∴EH=FG=EF=HG=BD=AC，故AC=BD． 故选B． 【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．解题的关键在于牢记有关的判定定理，难度不大． 4．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵k＞0，函数图象在一，三象限，由题意可知，点A、B在第三象限，点C在第一象限， ∵第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标， ∴y3最大， ∵在第三象限内，y随x的增大而减小， ∴y2＜y1． 故选：D． 【点评】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较． 5．（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ） A．9% B．8.5% C．9.5% D．10% 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题． 【分析】设平均每次降价的百分数是x，则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次降价后的价格是100（1﹣x）（1 ﹣x），根据“现在的售价是81元”作为相等关系列方程求解． 【解答】解：设平均每次降价的百分数是x，依题意得100（1﹣x）2=81， 解方程得x1=0.1，x2=1.9（舍去） 所以平均每次降价的百分数是10%． 故选D． 【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”） 6．（3分）甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的应用． 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y=（x＞0），所以函数图象大致是B． 故选B． 【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图． 7．（3分）二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ） A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1 【考点】配方法的应用． 【分析】在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数﹣4的一半的平方；
可将常数项3拆分为4和﹣1，然后再按完全平方公式进行计算． 【解答】解：x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2）2﹣1． 故选B． 【点评】在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1，然后将常数项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方． 8．（3分）函数y=的图象经过（1，﹣1），则函数y=kx﹣2的图象是（ ） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象；
反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】待定系数法． 【分析】先根据函数y=的图象经过（1，﹣1）求出k的值，然后求出函数y=kx﹣2的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答． 【解答】解：∵图象经过（1，﹣1）， ∴k=xy=﹣1， ∴函数解析式为y=﹣x﹣2， 所以函数图象经过（﹣2，0）和（0，﹣2）． 故选A． 【点评】主要考查一次函数y=kx+b的图象．当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 9．（3分）如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（ ） A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定 【考点】三角形中位线定理；
矩形的性质． 【专题】压轴题；
动点型． 【分析】易得EF为三角形AMR的中位线，那么EF长恒等于定值AR的一半． 【解答】解：∵E，F分别是AM，MR的中点， ∴EF=AR， ∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，故选C． 【点评】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质． 10．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ） A． B．5 C． D． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】综合题；
压轴题；
数形结合． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长． 【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B， ∴AB=OB， ∴△ABC的周长=OC+AC， 设OC=a，AC=b， 则：， 解得a+b=2， 即△ABC的周长=OC+AC=2． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题． 二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分） 11．（4分）反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足 k＞﹣2 ． 【考点】反比例函数的性质． 【分析】由于反比例函数的图象在一、三象限内，则k+2＞0，解得k的取值范围即可． 【解答】解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内， 则k+2＞0， 解得k＞﹣2． 故答案为k＞﹣2． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y=（k≠0）中k的取值，①当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；
②当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限． 12．（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的 倍． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：∵改做的三角形与原三角形相似，且面积缩小到原来的倍， ∴边长应缩小到原来的倍． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键． 13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一个根为零，则a的值为 ﹣4 ． 【考点】一元二次方程的解；
一元二次方程的定义． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；
将x=0代入原方程即可求得a的值． 【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0， 可得a2+3a﹣4=0， 解得a=﹣4或a=1， ∵二次项系数a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a=﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析． 14．（4分）已知==，则 = ． 【考点】比例的性质． 【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果． 【解答】解：设===k， ∴a=5k，b=3k，c=4k， ∴===， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 15．（4分）如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 y=﹣ ． 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【专题】压轴题；
数形结合． 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB=2求出k的值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0， ∵S△AOB=2，∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣， 故答案为：y=﹣． 【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= 2 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长． 【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ACD∽△CBD；
∴CD2=AD•BD=4，即CD=2． 【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质． 17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC= 1：3 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；
梯形． 【专题】压轴题． 【分析】根据在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且S△AOD：S△COB=1：9，可求=，则S△AOD：S△DOC=1：3，所以S△DOC：S△BOC=1：3． 【解答】解：根据题意，AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∵S△AOD：S△COB=1：9 ∴= 则S△AOD：S△DOC=1：3 所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 18．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由AD=3，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案． 【解答】解：∵AD=4，DB=2， ∴AB=AD+BD=4+2=6， ∵DE∥BC， △ADE∽△ABC，∴=， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 三、解答题：（共9道题，总分88分） 19．（8分）解方程 （1）2x2﹣2x﹣5=0；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；
解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）利用求根公式计算即可；
（2）利用因式分解可得到（4y+1）（3﹣2y）=0，可求得方程的解． 【解答】解：
（1）∵a=2，b=﹣2，c=﹣5， ∴△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x==， 即x1=，x2=， （2）移项得（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0， 分解因式得（4y+1）（3﹣2y）=0， 解得y1=﹣，y2=． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 20．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 【考点】平行投影；
相似三角形的性质；
相似三角形的判定． 【专题】计算题；
作图题． 【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；
（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；
构造比例关系．计算可得DE=10（m）． 【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF． ∴，∴∴DE=10（m）． 说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可． 【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题． 21．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 【考点】矩形的判定；
全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC． 【解答】解：（1）BD=CD． 理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点，∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD， ∵AF=BD，∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 22．（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b． （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果． （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；
否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释． 【考点】游戏公平性；
根的判别式；
列表法与树状图法． 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平． 【解答】解：（1）画树状图得：
∵（a，b）的可能结果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2）， ∴（a，b）取值结果共有9种；
（2）∵当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根， 当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根， 当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根， 当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根， 当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根， 当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根， 当a=1，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根， 当a=1，b=3时，△=b2﹣4ac=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根， 当a=1，b=2时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根， ∴P（甲获胜）=P（△＞0）=＞P（乙获胜）=， ∴这样的游戏规则对甲有利，不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 23．（10分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【考点】平行四边形的判定；
等边三角形的性质． 【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键． 24．（10分）如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】计算题；
压轴题；
待定系数法． 【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算；
（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上， ∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为y=﹣． ∵点A（﹣4，n）在y=﹣上， ∴n=2． ∴A（﹣4，2）． ∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴． 解之得 ． ∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2． （2）∵C是直线AB与x轴的交点， ∴当y=0时，x=﹣2． ∴点C（﹣2，0）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6． （3）不等式的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2． 【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；
要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式． 25．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】经济问题；
压轴题． 【分析】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利﹣降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可． 【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出100x÷0.1=1000x张． （0.3﹣x）（500+1000x）=120， 解得x1=﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1． 答：每张贺年卡应降价0.1元． 【点评】考查一元二次方程的应用；
得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；
根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键． 26．（10分）如图，P1、P2是反比例函数（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形． （1）求此反比例函数的解析式；
（2）求A2点的坐标． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；
反比例函数图象上点的坐标特征；
等边三角形的性质． 【分析】（1）首先作P1B⊥OA1于点B，由等边△P1OA1中，OA1=2，可得OB=1，P1B=，继而求得点P1的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式；
（2）首先作P2C⊥A1A2于点C，由等边△P2A1A2，设A1C=a，可得P2C=，OC=2+a，然后把P2点坐标（2+a，）代入，继而求得a的值，则可求得A2点的坐标． 【解答】解：（1）作P1B⊥OA1于点B， ∵等边△P1OA1中，OA1=2， ∴OB=1，P1B=， 把P1点坐标（1，）代入， 解得：， ∴；
（2）作P2C⊥A1A2于点C， ∵等边△P2A1A2，设A1C=a， 则P2C=，OC=2+a， 把P2点坐标（2+a，）代入， 即：， 解得，（舍去）， ∴OA2=2+2a=， ∴A2（，0）． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 27．（12分）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点． （1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；
若存在，请求出EF的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；
（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；
（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答． 【解答】解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等 ∴S△ECF：S△ACB=1：2 又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB == ∵AC=4， ∴CE=；
（2）设CE的长为x ∵△ECF∽△ACB ∴= ∴CF= 由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等， 得x+EF+x=（4﹣x）+5+（3﹣x）+EF 解得 ∴CE的长为；
（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF 由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90° ∴Rt△ACB斜边AB上高CD= 设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
= 即= 解得x=，即EF= 当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF=；
②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为EF 设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=，即= 解得x=，即EF= 综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF=或EF=． 【点评】此题考查了相似三角形的性质，有一定的开放性，难点在于作出辅助线就具体情况进行分类讨论． 期末试卷（2） 一、选择题（每小题3分，共42分） 1．（3分）计算a7•（）2的结果是（ ） A．a B．a5 C．a6 D．a8 2．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1 3．（3分）下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ） A．AB=2，BC=4，AC=7 B．AB=5，BC=3，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AC=4 D．∠C=90°，AB=6 5．（3分）下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（3分）若（x+3）（x﹣4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=﹣12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 7．（3分）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ） A．AB=AC=3，BC=6 B．∠A=40°、∠B=70° C．AB=3、BC=8，周长为16 D．∠A=40°、∠B=50° 8．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 9．（3分）如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角形的对数是（ ） A．5 B．6 C．3 D．4 10．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=65°，则∠1的度数为（ ） A．65° B．25° C．35° D．45° 11．（3分）已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（ ） A．25 B．±25 C．5 D．±5 12．（3分）如图，若∠A=27°，∠B=50°，∠C=38°，则∠BFE等于（ ） A．65° B．115° C．105° D．75° 13．（3分）若分式方程无解，则m的值为（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 14．（3分）若m=2100，n=375，则m，n的大小关系为（ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定 二、填空题（本大题满16分，每小题4分） 15．（4分）计算：= ． 16．（4分）一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边长为2abcm，则它的周长为 cm． 17．（4分）等腰三角形一个顶角和一个底角之和是100°，则顶角等于 ． 18．（4分）下列图形中对称轴最多的是 ． 三、解答题（本大题满分62分） 19．（10分）计算：
（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab） （2）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy） 20．（10分）把下列多项式分解因式：
（1）4x2y2﹣4 （2）2pm2﹣12pm+18p． 21．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）将△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是 ． （2）△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标 ． （3）若△DBC与△ABC全等（点D与点A重合除外），请直接写出满足条件点D的坐标． 22．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD． 23．（10分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？ 24．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ． （2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？ （3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO=BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离． 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共42分） 1．（3分）计算a7•（）2的结果是（ ） A．a B．a5 C．a6 D．a8 【考点】分式的乘除法． 【分析】首先利用分式的乘方计算）2，再计算乘法即可． 【解答】解：原式=a7•=a5， 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式的乘法和乘方，关键是掌握运算顺序，应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 2．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1 【考点】分式有意义的条件． 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣1≠0． 解得：x≠1． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 3．（3分）下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 4．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ） A．AB=2，BC=4，AC=7 B．AB=5，BC=3，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AC=4 D．∠C=90°，AB=6 【考点】全等三角形的判定． 【分析】判断是否符合所学的全等三角形的判定定理及三角形的三边关系即可． 【解答】解：A、不符合三角形三边之间的关系，不能构成三角形，错误；
B、∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度，不能画出唯一的三角形，错误；
C、符合全等三角形判定中的ASA，正确；
D、只有一个角和一个边，无法作出一个三角形，错误；
故选C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；
能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不唯一． 5．（3分）下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】分式的定义． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：，，（x﹣y）是分式， 故选：C． 【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 6．（3分）若（x+3）（x﹣4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=﹣12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 【考点】多项式乘多项式． 【专题】计算题；
整式． 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可． 【解答】解：已知等式整理得：x2﹣x﹣12=x2+px+q， 则p=﹣1，q=﹣12， 故选B 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（3分）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ） A．AB=AC=3，BC=6 B．∠A=40°、∠B=70° C．AB=3、BC=8，周长为16 D．∠A=40°、∠B=50° 【考点】等腰三角形的判定． 【分析】根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案． 【解答】解：A、AB=AC=3，BC=6，不能组成三角形，错误；
B、∠A=40°、∠B=70°，可得∠C=70°，所以是等腰三角形，正确；
C、AB=3、BC=8，周长为16，AC=16﹣8﹣3=5，不是等腰三角形，错误；
D、∠A=40°、∠B=50°，可得∠C=90°，不是等腰三角形，错误；
故选B 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 8．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9， 故选C． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 9．（3分）如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角形的对数是（ ） A．5 B．6 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定． 【分析】先找出图中所有的三角形，根据直觉判断全等，再根据判定方法寻找条件验证． 【解答】解：在四边形ABCD中，BC∥AD⇒∠ABD=∠CDB． 又AB=CD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB；
∠ABD=∠CDB，AB=CD，又BE=DF⇒△ABE≌△CDF；
BE=DF⇒BF=DE．∵BC=DA，CF=AE，∴△BCF≌△DAE． 故选C． 【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 10．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=65°，则∠1的度数为（ ） A．65° B．25° C．35° D．45° 【考点】平行线的性质． 【专题】探究型． 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵直线a∥b，∠2=65°， ∴∠3=∠2=65°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠1=180°﹣∠3﹣∠ABC=180°﹣65°﹣90°=25°． 故选B． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 11．（3分）已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（ ） A．25 B．±25 C．5 D．±5 【考点】完全平方式． 【分析】直接利用完全平方公式求出m的值． 【解答】解：∵y2+10y+m是完全平方式， ∴y2+10y+m=（y+5）2=y2+10y+25， 故m=25． 故选：A． 【点评】此题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 12．（3分）如图，若∠A=27°，∠B=50°，∠C=38°，则∠BFE等于（ ） A．65° B．115° C．105° D．75° 【考点】三角形内角和定理；
三角形的外角性质． 【分析】根据三角形外角的性质，可得∠AEB=∠A+∠C=65°，再根据三角形的内角和定理，求得∠BFE的度数即可． 【解答】解：∵∠A=27°，∠C=38°， ∴∠AEB=∠A+∠C=65°， ∵∠B=50°， ∴△BEF中，∠BFE=180°﹣（65°+50°）=65°， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 13．（3分）若分式方程无解，则m的值为（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【考点】分式方程的解． 【专题】计算题；
分式方程及应用． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：x=m， 由分式方程无解，得到x+2=0，即x=﹣2， 把x=﹣2代入得：m=﹣2， 故选A 【点评】此题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是本题的突破点． 14．（3分）若m=2100，n=375，则m，n的大小关系为（ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定 【考点】幂的乘方与积的乘方． 【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念，将m变形为（24）25，n变形为（33）25，然后进行比较求解即可． 【解答】解：m=2100=（24）25， n=375=（33）25， ∵24＜33， ∴（24）25＜（33）25， 即m＜n， 故选B． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则． 二、填空题（本大题满16分，每小题4分） 15．（4分）计算：= ﹣1 ． 【考点】分式的加减法． 【分析】应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化简． 【解答】解：==﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了同分母分式的加减运算法则．题目比较简单，解题需细心． 16．（4分）一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边长为2abcm，则它的周长为 4ab+4a+6b cm． 【考点】整式的除法；
单项式乘多项式． 【专题】计算题；
几何图形问题． 【分析】先根据矩形的面积公式求出另一边的长，再根据矩形的周长=2×（长+宽）列式，通过计算即可得出结果． 【解答】解：（6ab2+4a2b）÷2ab=3b+2a， 2×（2ab+3b+2a）=4ab+4a+6b． 故答案为：4ab+4a+6b． 【点评】此题考查了多项式除以单项式、单项式乘多项式在实际中的应用．求出矩形的另一边长是解题的关键．用到的知识点：
矩形的面积=长×宽，矩形的周长=2×（长+宽）． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 17．（4分）等腰三角形一个顶角和一个底角之和是100°，则顶角等于 20° ． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相减即可求出顶角． 【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是100° 即它的另一个底角为180°﹣100°=80° ∵等腰三角形的底角相等 故它的一个顶角等于100°﹣80°=20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；
本题思路比较直接，简单，属于基础题． 18．（4分）下列图形中对称轴最多的是 圆 ． 【考点】轴对称图形． 【分析】直接得出各图形的对称轴条数，进而得出答案． 【解答】解：正方形有4条对称轴；
长方形有2条对称轴；
圆有无数条对称轴；
线段有2条对称轴． 故对称轴最多的是圆． 故答案为：圆． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确得出各图形对称轴条数是解题关键． 三、解答题（本大题满分62分） 19．（10分）计算：
（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab） （2）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy） 【考点】整式的混合运算． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除即可． （2）先算括号里面的，最后算除法即可． 【解答】解：（1）原式=a2b4•（﹣a9b3）÷（﹣5ab） =a10b6． （2）原式=[x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2]÷2xy =4xy÷2xy =2． 【点评】本题考查了完全平方公式，整式的混合运算的应用，注意运算顺序． 20．（10分）把下列多项式分解因式：
（1）4x2y2﹣4 （2）2pm2﹣12pm+18p． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题；
因式分解． 【分析】（1）原式提取4，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取2p，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式=4（x2y2﹣1）=4（xy+1）（xy﹣1）；
（2）原式=2p（m2﹣6m+9）=2p（m﹣3）2． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 21．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）将△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是 （2，3） ． （2）△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标 （﹣3，﹣3） ． （3）若△DBC与△ABC全等（点D与点A重合除外），请直接写出满足条件点D的坐标． 【考点】翻折变换（折叠问题）；
作图-轴对称变换． 【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置；
（3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【解答】解：（1）翻折后点A的对应点的坐标是：（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣3）；
（3）如图所示：D（﹣2，﹣3）或（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）． 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． 22．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD． 【考点】全等三角形的判定与性质；
等腰三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠CFD=∠B， ∵∠CFD=∠AFE， ∴∠AFE=∠B 在△AEF与△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2CD， ∵△AEF≌△CEB， ∴AF=BC， ∴AF=2CD． 【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 23．（10分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】首先设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，则第二块试验田每亩收获蔬菜（x+300）千克，根据关键语句“有两块面积相同的试验田”可得方程=，再解方程即可． 【解答】解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，由题意得：
=， 解得：x=450， 经检验：x=450是原分式方程的解， 答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程． 24．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF=BE+DF ． （2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？ （3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO=BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离． 【考点】全等三角形的判定与性质；
全等三角形的应用． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等解答；
（2）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可． 【解答】解：（1）EF=BE+DF；
证明：如图1，延长FD到G，使DG=BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；
（2）EF=BE+DF仍然成立． 证明：如图2，延长FD到G，使DG=BE，连接AG， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠B=∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF；
（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C， ∵∠AOB=20°+90°+（90°﹣60°）=140°， ∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB， 又∵OA=OB， ∠OAC+∠OBC=（90°﹣20°）+（60°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+BF成立， 即EF=583米． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点． 期末试卷（3） 一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题3分，共30分． 1．（3分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3分）方程x2﹣9=0的根是（ ） A．x=﹣3 B．x1=3，x2=﹣3 C．x1=x2=3 D．x=3 3．（3分）把抛物线y=（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（ ） A．y=x2 B．y=（x﹣2）2 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=x2+4 4．（3分）下列说法：
①三点确定一个圆；
②垂直于弦的直径平分弦；
③三角形的内心到三条边的距离相等；
④圆的切线垂直于经过切点的半径． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（3分）如图，底边长为2的等腰Rt△ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ） A．（1，﹣） B．（1，﹣1） C．（） D．（，﹣1） 6．（3分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为（ ） A．135° B．120° C．110° D．100° 7．（3分）如图，⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为7，点P是直线l上的一个动点，PQ与⊙O相切于点Q，则PQ的最小值为（ ） A． B． C．2 D．2 8．（3分）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 9．（3分）若A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）是抛物线y=﹣x2+4x+k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＜3b；
③25a+5b+c=0；
④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：每小题3分，共18分． 11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣7=0时，配方后的形式为 ． 12．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′的大小为 ． 13．（3分）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为5，则k的值为 ． 14．（3分）将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ． 15．（3分）如图，一次函数y1=k1+b与反比例函数y2=的图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则y2＜y1时，x的取值范围是 ． 16．（3分）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 秒时，直线MN恰好与圆相切． 三、解答题：共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3=0；
（2）（x﹣5）2=2（5﹣x） 18．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE． （1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）、B（3，3）、C（4，2）． （1）请在图中作出经过点A、B、C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；
（2）若D（1，4），则直线BD与⊙M ． A、相切 B、相交． 20．（8分）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各1个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是． （1）求暗箱中红球的个数；
（2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值． 22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F． （1）求证：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的长． 23．（10分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为40元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+120（1≤x≤30，且x为整数）；
销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q=x+50（1≤x≤30，且x为整数）． （1）试求出该商店日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大利润和最小利润． 24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB． （1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 参考答案与试题解析 一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题3分，共30分． 1．（3分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；
轴对称图形． 【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）方程x2﹣9=0的根是（ ） A．x=﹣3 B．x1=3，x2=﹣3 C．x1=x2=3 D．x=3 【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】首先把常数项9移到方程的右边，再两边直接开平方即可． 【解答】解：移项得：x2=9， 两边直接开平方得：x=±3， 即x1=3，x2=﹣3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 3．（3分）把抛物线y=（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（ ） A．y=x2 B．y=（x﹣2）2 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=x2+4 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】已知抛物线的顶点坐标为（1，2），向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，顶点坐标为（0，0），根据抛物线顶点式求解析式． 【解答】解：∵抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）， ∴向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，顶点坐标为（0，0）， ∴平移后抛物线解析式为y=x2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式． 4．（3分）下列说法：
①三点确定一个圆；
②垂直于弦的直径平分弦；
③三角形的内心到三条边的距离相等；
④圆的切线垂直于经过切点的半径． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【考点】三角形的内切圆与内心；
垂径定理；
确定圆的条件；
切线的性质． 【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；
根据垂径定理对②进行判断；
根据三角形内心的性质对③进行判断；
根据切线的性质对④进行判断． 【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；
垂直于弦的直径平分弦，所以②正确；
三角形的内心到三条边的距离相等，所以③正确；
圆的切线垂直于经过切点的半径，所以④正确． 故选C． 【点评】本题考查了三角形内心的性质、垂直定理、确定圆的条件和切线的性质．注意对①进行判断时要强调三点不共线． 5．（3分）如图，底边长为2的等腰Rt△ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ） A．（1，﹣） B．（1，﹣1） C．（） D．（，﹣1） 【考点】坐标与图形变化-旋转． 【专题】计算题． 【分析】A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再利用旋转的性质得A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到OH=A1H=B1H=A1B1=1，然后写出点A1的坐标． 【解答】解：A1B1交x轴于H，如图， ∵△OAB为等腰直角三角形， ∴∠OAB=45°， ∵△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1， ∴A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°， ∴∠2=45°， ∴OH⊥A1B1， ∴OH=A1H=B1H=A1B1=1， ∴点A1的坐标为（1，﹣1）． 故选B． 【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断A1B1被x轴垂直平分． 6．（3分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为（ ） A．135° B．120° C．110° D．100° 【考点】圆周角定理． 【分析】先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，再运用周角360°即可解． 【解答】解：∵∠ACB=a ∴优弧所对的圆心角为2a ∴2a+a=360° ∴a=120°． 故选B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．（3分）如图，⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为7，点P是直线l上的一个动点，PQ与⊙O相切于点Q，则PQ的最小值为（ ） A． B． C．2 D．2 【考点】切线的性质． 【分析】由切线的性质得出△OPQ是直角三角形．由OQ为定值，得出当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=7时PQ最小．根据勾股定理得出结果即可． 【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q， ∴∠OQP=90°， ∴PQ2=OP2﹣OQ2， 而OQ=5， ∴PQ2=OP2﹣52，即PQ=， 当OP最小时，PQ最小， ∵点O到直线l的距离为7， ∴OP的最小值为7， ∴PQ的最小值==2． 故选C． 【点评】此题综合考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键． 8．（3分）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；
一次函数的图象． 【专题】数形结合． 【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限． 【解答】解：当k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；
一次函数图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；
当k＜0时，反比例函数经过第二、四象限；
一次函数经过第二、三、四象限，故B错误，D正确；
故选：D． 【点评】考查反比例函数和一次函数图象的性质：
（1）反比例函数y=：当k＞0，图象过第一、三象限；
当k＜0，图象过第二、四象限；
（2）一次函数y=kx+b：当k＞0，图象必过第一、三象限，当k＜0，图象必过第二、四象限．当b＞0，图象与y轴交于正半轴，当b=0，图象经过原点，当b＜0，图象与y轴交于负半轴． 9．（3分）若A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）是抛物线y=﹣x2+4x+k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2，y3的值，最后比较它们的大小即可． 【解答】解：∵A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）为二次函数y=﹣x2+4x+k的图象上的三点， ∴y1=﹣9+12+k=3+k， y2=﹣25+20+k=﹣5+k， y3=﹣4﹣8+k=﹣12+k， ∵3+k＞﹣5+k＞﹣12+k， ∴y1＞y2＞y3． 故选C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上． 10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＜3b；
③25a+5b+c=0；
④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；
观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；
由于x=5时，y=0，则25a+5b+c=0，再根据抛物线开口向下，由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2， ∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；
∵当x=﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， 即9a+c＜3b，（故②正确）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x=2， ∴抛物线与x轴的一个交点为（5，0）， ∴25a+5b+c=0，（故③正确）， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=2， ∴x＞2时，y随x的增大而减小，（故④正确）． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；
当a＜0时，抛物线向下开口；
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；
抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 二、填空题：每小题3分，共18分． 11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣7=0时，配方后的形式为 （x﹣1）2=8 ． 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】将常数项移至右边，根据等式性质左右两边配上一次项系数一半的平方，再写成完全平方形式即可． 【解答】解：x2﹣2x=7， x2﹣2x+1=7+1， （x﹣1）2=8， 故答案为：（x﹣1）2=8． 【点评】本题考查配方法解一元二次方程，形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；
第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；
第三步左边写成完全平方式． 12．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′的大小为 69° ． 【考点】旋转的性质． 【分析】由旋转的性质可知AB=AB′，∠BAB′=42°，接下来，依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B′BC′的大小． 【解答】解：∵把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上， ∴∠BAB′=42°，AB=AB′． ∴∠AB′B=∠ABB′． ∴∠B′BC′=（180°﹣42°）=69°． 故答案为：69°． 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，证得△ABB′是等腰三角形是解题的关键． 13．（3分）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为5，则k的值为 ﹣10 ． 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【分析】由△PAO的面积为5可得|k|=5，再结合图象经过的是第二象限，从而可以确定k值． 【解答】解：∵S△PAO=5， ∴|x•y|=5，即|k|=5，则|k|=10 ∵图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k=﹣10 【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|． 14．（3分）将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是 π ． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC求解． 【解答】解；
如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO， ∵OD=AO， ∴∠OAD=30°， ∴∠AOB=2∠AOD=120°， 同理∠BOC=120°， ∴∠AOC=120°， ∴阴影部分的面积=S扇形AOC==π． 故答案为：π 【点评】本题考查的是翻折变换的性质和扇形面积的计算，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 15．（3分）如图，一次函数y1=k1+b与反比例函数y2=的图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则y2＜y1时，x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜2 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的交点、结合图象解答即可． 【解答】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＜y2， 当x＜﹣1或0＜x＜2时，y2＜y1， 故答案为x＜﹣1或0＜x＜2． 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 16．（3分）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 4﹣2或4+2 秒时，直线MN恰好与圆相切． 【考点】直线与圆的位置关系；
一次函数图象上点的坐标特征；
平移的性质． 【分析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论． 【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示． 设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0， ∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为2， ∴b2=×2×|b|， 解得：b=2或b=﹣2， ∴直线EF的解析式为y=x+2或y=x﹣2， ∴点E的坐标为（2，0）或（﹣2，0）． 令y=x﹣4中y=0，则x=4， ∴点M（4，0）． ∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动， ∴移动的时间为4﹣2秒或4+2秒． 故答案为：4﹣2或4+2． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出点E、M的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度． 三、解答题：共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3=0；
（2）（x﹣5）2=2（5﹣x） 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）用十字相乘法因式分解可以求出方程的根；
（2）首先移项后提取公因式（x﹣5），再解两个一元一次方程即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3=0， ∴（x﹣3）（x+1）=0， ∴x﹣3=0或x+1=0， ∴x1=3，x2=﹣1；
（2）∵（x﹣5）2=2（5﹣x） ∴（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，∴（x﹣5）（x﹣5+2）=0， ∴x﹣5=0或x﹣3=0， ∴x1=5，x2=3． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE． （1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长． 【考点】旋转的性质． 【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；
（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形， ∴∠BAD=∠BCD=45°． 由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°． ∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°． （2）∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴AC==4． ∵CD=3AD， ∴AD=，DC=3． 由旋转的性质可知：AD=EC=． ∴DE==2． 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE=90°是解题的关键． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）、B（3，3）、C（4，2）． （1）请在图中作出经过点A、B、C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；
（2）若D（1，4），则直线BD与⊙M A ． A、相切 B、相交． 【考点】直线与圆的位置关系；
坐标与图形性质． 【分析】（1）连接AB，BC，分别作出线段BD，BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）连接MB，DB，DM，利用勾股定理的逆定理证明∠DBM=90°即可得到直线BD与⊙M相切． 【解答】解：
（1）如图所示：圆心M的坐标为（2，1）；
（2）连接MB，DB，DM， ∵DB=，BM=，DM=， ∴DB2+BM2=DM2， ∴△DBM是直角三角形， ∴∠DBM=90°， 即BM⊥DB， ∴直线BD与⊙M相切， 故选A． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及勾股定理和其逆定理的运用，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案是解题的关键． 20．（8分）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各1个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是． （1）求暗箱中红球的个数；
（2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率． 【考点】列表法与树状图法；
概率公式． 【专题】计算题． 【分析】（1）设红球有x个数，利用概率公式得到=，然后解方程即可；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）设红球有x个数， 根据题意得=，解得x=2， 所以暗箱中红球的个数为2个；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色不同的结果数为10， 所以两次摸到的球颜色不同的概率==． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值． 【考点】根与系数的关系；
根的判别式． 【分析】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；
（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2（k+1），x1x2=k2，则2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，利用因式分解法解得k1=2，k2=﹣，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值． 【解答】解：（1）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解得k≥﹣， ∴k的取值范围为k≥﹣；
（2）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2， ∵x1+x2=3x1x2﹣6， ∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=2，k2=﹣， ∵k≥﹣， ∴k=2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；
当△=0，方程有两个相等的实数根；
当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系． 22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F． （1）求证：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的长． 【考点】切线的性质；
三角形的外接圆与外心． 【分析】（1）延长FC至H，由AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，由EM⊥AB，得出∠EMB=∠ACB=90°，证得△ABC∽△EMB，得出∠CEF=∠CAB，由弦切角定理得出∠CAB=∠BCH，由对顶角相等得出∠BCH=∠ECF，推出∠CEF=∠ECF，即可得出结论；
（2）利用含30度的直角三角形三边的性质得出BC=AB=2，AC=BC=2，则CE=2，所以BE=BC+CE=2+2，然后在Rt△BEM中计算出BM=BE即可． 【解答】（1）证明：延长FC至H，如图所示：
∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵EM⊥AB， ∴∠EMB=∠ACB=90°， ∵∠ABC=∠EBM， ∴△ABC∽△EMB， ∴∠CEF=∠CAB， ∵FC是⊙O的切线， ∴∠CAB=∠BCH， ∵∠BCH=∠ECF ∴∠CAB=∠ECF， ∴∠CEF=∠ECF， ∴EF=CF；
（2）解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A， ∴∠B=60°，∠A=30°， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4， ∴BC=AB=2，AC=BC=2， ∵AC=CE， ∴CE=2， ∴BE=BC+CE=2+2， 在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠BEM=∠A=30° ∴BM=BE=1+． 【点评】本题考查了切线的性质、含30度的角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；
熟练掌握弦切角定理与含30度的角直角三角形的性质是解决问题的关键． 23．（10分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为40元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+120（1≤x≤30，且x为整数）；
销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q=x+50（1≤x≤30，且x为整数）． （1）试求出该商店日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大利润和最小利润． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据销售问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×（一件的销售价﹣一件的进价），建立函数关系式；
（2）将（1）中函数关系式配方可得其顶点式，结合自变量x的范围，根据二次函数的性质可得函数的最值情况． 【解答】解：（1）该商店日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式为：
W=（x+50﹣40）（﹣2x+120） =﹣x2+40x+1200（1≤x≤30，且x为整数）；
（2）∵W=﹣x2+40x+1200=﹣（x﹣20）2+1600， ∴当x=20时，W最大=1600元， ∵1≤x≤30， ∴当x=1时，W最小=1239元， 答：在这30天的试销售中，第20天的日销售利润最大，为1600元，第1天的日销售利润最小，为1239元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据销售问题中的基本等量关系建立函数关系式是根本，由自变量x的范围，根据二次函数的性质讨论函数的最值情况是解题的关键． 24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB． （1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3， ∴， 解得：， ∴所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）， ∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a， ∴S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF， =（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）， =﹣﹣a+， =﹣（a+）2+， ∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为． 此时，点E坐标为（﹣，）；
（3）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（﹣1，m）， ∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上， ①当m≥0时， ∴PA=PA1，∠APA1=90°， 如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M， ∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°， ∴∠NA1P=∠NPA， 在△A1NP与△PMA中， ， ∴△A1NP≌△PMA， ∴A1N=PM=m，PN=AM=2， ∴A1（m﹣1，m+2）， 代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3， 解得：m=1，m=﹣2（舍去）， ②当m＜0时，要使P2A=P2A，2，由图可知A2点与B点重合， ∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2， ∴P2（﹣1，﹣2）， ∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
