11-12学年高中数学,1.3.2,函数的极值与导数同步练习,新人教A版选修2-2:

选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数 一、选择题 1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 [答案]　C [解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；
由极值的定义可知C正确，故应选C. 2．函数y＝1＋3x－x3有(　　) A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3 [答案]　D [解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x) 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1 当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数， 当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数， 当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数， ∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1. 当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3. 3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　) A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在 C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为0 [答案]　C [解析]　如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在． 4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　C [解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件． 5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；

②f(x)是减函数，无极值；

③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；

④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值． 其中正确的命题有(　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 [答案]　B [解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②错误． 6．函数f(x)＝x＋的极值情况是(　　) A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值 B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值 C．当x＝－1时，极小值为－2；
当x＝1时，极大值为2 D．当x＝－1时，极大值为－2；
当x＝1时，极小值为2 [答案]　D [解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1， 函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， ∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2. 7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [答案]　A [解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点． 8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 [答案]　D [解析]　∵y′＝1－(x2＋1)′ ＝1－＝ 令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0， 当x<1时，y′>0， ∴函数无极值，故应选D. 9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　) A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为 C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0 [答案]　A [解析]　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1① f′(1)＝0，∴2p＋q＝3② 由①②得p＝2，q＝－1. ∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1 ＝(3x－1)(x－1)， 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0. 10．下列函数中，x＝0是极值点的是(　　) A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ [答案]　B [解析]　y＝cos2x＝，y′＝－sin2x， x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负， ∴x＝0是函数的极大值点． 二、填空题 11．函数y＝的极大值为______，极小值为______． [答案]　1 －1 [解析]　y′＝， 令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1， ∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1. 12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________． [答案]　a＋4　a－4 [解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)， 令y′>0，得x>或x<－， 令y′<0，得－<x<， ∴当x＝－时取极大值a＋4， 当x＝时取极小值a－4. 13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________. [答案]　－3 －9 [解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有 14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________． [答案]　(－2,2) [解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1， 可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2， y＝f(x)的大致图象如图 观察图象得－2<a<2时恰有三个不同的公共点． 三、解答题 15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11. (1)写出函数f(x)的递减区间；

(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 f(－1) 减 极小值 f(3) 增 (1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；

(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；
当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16. 16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值． [解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. ∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有 又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1， 此时函数的表达式为f(x)＝x3－x. ∴f′(x)＝x2－. 令f′(x)＝0，得x＝±1. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大 值1  极小 值－1  由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；
当x＝1时，函数有极小值－1. 17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值． (1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程． [解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意， f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0. ∴f(x)＝x3－3x， f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1. 若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞，－1)上是增函数， f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故 f(x)在(－1,1)上是减函数． ∴f(－1)＝2是极大值；
f(1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上． 设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0. ∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为 y－y0＝3(x－1)(x－x0)． 注意到点A(0,16)在切线上，有 16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)． 化简得x＝－8，解得x0＝－2. ∴切点为M(－2，－2)， 切线方程为9x－y＋16＝0. 18．(2010·北京文，18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4. (1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． [解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c ∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4. (1)当a＝3时，由(*)式得， 解得b＝－3，c＝12. 又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立” 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9) 解得a∈[1,9]， 即a的取值范围[1,9]．