中考冲刺：代数综合问题(基础)(1)
中考冲刺：代数综合问题(基础) 一、选择题 1. 如图所示，已知函数和y＝kx(k≠0)的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是( ) A． B． C． D． 2.（2016•河北模拟）如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数和的图象于点E、F，且，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；
②△EOF的面积为（k1﹣k2）；
③；
④当∠EOF=90°时，，其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 3．下列说法中 ①若式子有意义，则x＞1. ②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°. ③已知x=2 是方程x2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8. ④在反比例函数中，若x＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k＞2. 其中正确的命题 有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题 4．如图所示，是二次函数(a≠0)和一次函数(n≠0)的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________． 5．已知二次函数若此函数图象的顶点在直线y＝-4上,则此函数解析式为______． 6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③b2﹣4ac＜0；
④b＞a+c；
⑤a+2b+c＞0，其中正确的结论有______． 三、解答题 7．（北京校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0 （1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=﹣x上有一个动点P．求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标，并求PA+PB的最小值． 8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间． （1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；
（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；
（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大? 9. 已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点． （1）求的值；
（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；
若没有，请说明理由 （3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值． 10. 已知：关于x的一元二次方程，其中． （1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,若点D的坐标为（0，-2）,且AD·BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，）、F（2a，y）、G（3a，y）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；
如果不存在，说明理由． 答案与解析 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C；
【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系． 2.【答案】B；
【解析】①∵点E在反比例函数的图象上， 点F在反比例函数的图象上，且， ∴k1=OA•EA，k2=﹣OA•FA， ∴， ∴这两个函数的图象不关于x轴对称，即①错误；
②∵点E在反比例函数y1=的图象上，点F在反比例函数y2=的图象上， ∴S△OAE=k1，S△OAF=﹣k2， ∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正确；
③由①可知，∴③错误；
④设EA=5a，OA=b，则FA=3a， 由勾股定理可知：OE=，OF=． ∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2， ∴=，④正确． 综上可知：正确的结论有②④． 3.【答案】B；
【解析】 若式子有意义，则x≥1，①错误；
由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确. 把x=2 代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；
反比例函数中， 若x＞0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④错误.故选B. 二、填空题 4.【答案】-2≤x≤1；
【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系． 5.【答案】，；
【解析】 ∵顶点在直线y＝-4上，∴．，m＝±1． ∴此函数解析式为：，． 6.【答案】①②④⑤；
【解析】∵抛物线开口朝下，∴a＜0， ∵对称轴x=﹣=1，∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；
根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②正确；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；
根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正确；
∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c， ∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题 7.【答案与解析】 （1）证明：由题意得m≠0， ∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0， ∴此方程总有两个实数根；
（2）解：方程的两个实数根为x=， ∴x1=1，x2=， ∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数， ∴m=±1；
（3）由（2）知，m=±1． ∵抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1的开口向上， ∴m=1， 则该抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2． 易求得A（1，0），B（0，1）． 如图，点B关于直线y=﹣x的对称点C的坐标为（﹣1，0），连接AC，与直线y=﹣x的交点即为符合条件的点P．此时点P与原点重合，则P（0，0）．所以PA+PB=AC=2． 8.【答案与解析】 （1）设y＝kx，当x＝1时，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)． （2）当0≤x＜4时，设y＝a(x-4)2+16． 由题意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16， 即当0≤x＜4时，．当4≤x≤10时，y＝16． （3）设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为(20-x)分钟． 当0≤x＜4时，．当x＝3时，． 当4≤x≤10时，y＝16+2(20-x)＝56-2x．y随x的增大而减小，因此当x＝4时，， 综上，当x＝3时，，此时20-x＝17． 答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大． 9.【答案与解析】 解：
（1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以抛物线对称轴，所以． （2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0． 因为，=16-8=80． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 ，． （3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式 为． 若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可． 由==<0，得 又是正整数，所以的最小值为2． 10.【答案与解析】 解：
（1）将原方程整理，得， △=＞0 ∴ ． ∴或． （2）由（1）知，抛物线与轴的交点分别为（m，0）、（4,0）， ∵A在B的左侧，. ∴A（m，0），B（4,0）. 则，． ∵AD·BD=10， ∴AD2·BD2=100. ∴. 解得. ∵， ∴. ∴，. ∴抛物线的解析式为. （3）答：存在含有、y、y，且与a无关的等式， 如：（答案不唯一）. 证明：由题意可得，， . ∵左边=. 右边=－－4 =. ∴左边=右边. ∴成立.
