昆一中2019高三第五次_2019-2020学年市一中高三第五次模拟考试数学（文）试题—附答案

2019-2020学年市一中高三第五次模拟考试 数学试题（文科） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知为虚数单位，复数，，则（ ）. A. B. C. D. 2.已知，，则（ ）. A. B. C. D. 3.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）. A. B. C. D. 4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）. A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（）. A.1 B.2 C.4 D.6 6.直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）. A. B. C. D. 8.函数的大致图象是（ ）. A. B. C. D. 9.设，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）. A. B.3 C.4 D. 10.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（ ）. A.2 B.4 C.6 D.8 11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A.24里 B.12里 C.6里. D.3里 12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；

②函数有2 个零点；

③的解集为；

④，都有. 其中真命题的序号是（ ）. A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在区间上随机取一个数，则的值介于0与之间的概率为_____． 14.已知数列满足，，，那么成立的的最大值为______ 15.已知函数，若在区间上单调递增，则的最小值是______． 16.设，分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分，过原点作的平行线交于点，若，则的离心率为_______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.） 17.已知向量，，，设． （1）求函数的解析式及单调增区间；

（2）在中，，，分别为角，，的对边，且，，，求的面积． 18.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为. （1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；

（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间内的概率． 19.如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，. （1）求证：；

（2）若，分别为，的中点，平面，求三棱锥的体积． 20.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，. （1）求椭圆的方程；

（2）以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；
若不经过，请说明理由． 21.已知函数. （1）当时，求证：若，则；

（2）当时，试讨论函数的零点个数. 选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分. 22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于、两点． （1）求的值；

（2）求点到、两点的距离之积． 23.（1）已知实数，满足，，证明：. （2）已知，求证：. 数学试题（文科）参考答案与解析 1.D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.B 10.A 11.C记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列, ，，∴，∴. 12..D由题意可知时，，，可见命题①是错误的；
时，，此时有1个零点，当，，此时有1个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有3个零点，即命题②不成立；
当时，，可求得解集为，当时，，可求得解集为，所以命题③成立；
当时，，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则当时的值域为，所以有. 13. 14.5 15.1 16. 设交轴于点，，则，由，得，即，则，所以，又是的角平分线，则有，代入整理得，所以离心率为. 17.解：（1）， 由， 可得， 所以函数的单调递增区间为，. （2）∵，∴，∵， ∴，∴，∴. 由，得， ∴，∴. 18.解：（1）设这些产品质量指标值落在区间内的频率为， 则这些产品质量指标值落在区间，内的频率分别为和． 依题意得， 解得.所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为0.05. （2）由（1）得这些产品质量指标值落在区间，，内的频率依次为0.3，0.2，0.1. 用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本， 则在区间内应抽取件，记为，，. 在区间内应抽取件，记为，. 在区间内应抽取件，记为. 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件， 则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种。事件M包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种． 所以这2件产品都在区间内的概率为. 19.解：（1）连接，交于点，∵底面是正方形， ∴且为的中点，又∵，，∴平面，由于平面，故，又∵，故. （2）设的中点为，连接，，则， ∴四边形为平行四边形，，∵平面， ∴平面，∴，的中点为， ∴，由平面可得， 又∵，， ∴平面，∴， 又∵，∴平面， ， 故三棱锥的体积为． 20.解：（1）设椭圆的方程为， 因为椭圆的左焦点为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为． （2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为． 因为直线与椭圆交于两点，， 设点（不妨设），则点，联立方程组，消去，得，所以，则，所以直线的方程为，因为直线，分别与轴交于点，， 令，得，即点，同理可得点，所以. 设的中点为，则点的坐标为． 则以为直径的圆的方程为， 即. 令，得，即或. 故以为直径的圆经过两定点，. 21.解：解：（1）当时，，则， 则 ①， 令，得， 当时，，∴，即， ∴函数在上为增函数，即当时，， ∴函数在上为增函数，即当时，. （2）由（1）和①式知，当时，，∴， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为， ∴，∴，，即②， （I）当时，，又，∴， ∴由②式得，即， ∴函数在上为增函数，又， ∴当时，，当时，， ∴函数在上有且仅有一个零点. （II）当时， ⅰ）当时，，，∴， 函数在时单调递减，∴， 故时，函数在上无零点；

ⅱ）当时，由，得， 函数在上单调递增，， 当时，， ∴由函数零点存在性定理知，使， 故当时，， 当时，， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又，∴对，， 又当时，，∴， 由，∴， 再由函数零点存在性定理知，使得， 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点， 当时，函数有两个零点． 22. 解析：（1）曲线的普通方程为，， 则的普通方程为，则的参数方程为：（为参数） 代入得，. （2）. 23. （1）证明：证法一∵，，∴，， ∴，. ∴，即， ∴，∴， 即，∴. 证法二：要证， 只需证 只需证 只需证， 即. ∵，，∴，，∴成立． ∴要证明的不等式成立． （2）证明：要证， 只需证， 只需证， 即证， 只需证， 即证，此式显然成立． ∴原不等式成立.