中考数学二轮专题汇编：二次函数的图象及其性质

2021中考数学 二轮专题汇编：二次函数的图象及其性质 一、选择题 1. 抛物线y＝－3x2＋4的顶点坐标是(　　) A．(0，4) B．(0，－4) C．(－3，4) D．(3，4) 2. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2 的图象可能是(　　) 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是(　　) A．a＞0 B．c＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0 4. （2020·衢州）二次函数的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（　　） A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位 5. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是 A．的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线 C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 6. （2020·镇江）点 在以 轴为对称轴的二次函数 的图像上，则 的最大值等于( ) A． B．4 C． D． 7. 已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是(　　) 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc<0；
②b<c；
③3a＋c＝0；
④当y>0时，－1<x<3. 其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9. 将抛物线y=3(x+1)2-2向上平移1个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线的解析式是　　　　.  10. 若方程(x－m)(x－n)＝3(m，n为常数，且m＜n)的两实数根分别为a、b(a＜b)，则m、n、a、b的大小关系为______________． 11. 已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是　　　　.  12. 某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象与性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝________． x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y … 2 0.75 0 －0.25 0 －0.25 0 m 2 … 13. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________． 14. 已知二次函数y＝3x2＋c与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________． 15. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________． 16. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________． 三、解答题 17. 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式． (1)图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，对称轴是直线x＝2；

(2)图象的顶点坐标是(－2，3)，且过点(1，－3)；

(3)如图，图象经过A，B，C三点． 18. 画出函数y＝－x2的图象，并回答问题． 解：(1)列表(请完成下面的填空)：
x … －2 －1 －0.5 0 0.5 1 2 … y … －0.25 0 －0.25 －1 －4 … (2)描点、连线；

(3)由函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而________．(填“增大”或“减小”) 19. 已知抛物线y＝a(x＋2)2过点(1，－3)． (1)求抛物线对应的函数解析式；

(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；

(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 20. 已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点． (1)求c的取值范围；

(2)若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由． 21. 抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a(x－3)2－1，且平移后的抛物线经过点A(2，1)． (1)求平移后的抛物线的解析式；

(2)设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积． 22. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)． (1)求抛物线的解析式． (2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由． 23. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)，与y轴交于点C. (1)求这条抛物线的解析式. (2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标. 24. 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形． ①求点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积． 2021中考数学 二轮专题汇编：二次函数的图象及其性质-答案 一、选择题 1. 【答案】A 2. 【答案】D　 3. 【答案】D 4. 【答案】C 【解析】由于 A选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2，当x=2时，y=14，所以它不经过（2，0）；
B选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=7，所以它不经过（2，0）；
C选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1，当x=2时，y=0，所以它经过（2，0）；
D选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1，当x=2时，y=1，它不经过（2，0），因此本题选C. 5. 【答案】C 【解析】二次函数，， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；

故选项A、B的说法正确，C的说法错误；

根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到， 故选项D的说法正确， 故选C． 6. 【答案】C 【解析】∵抛物线的对称轴为y轴，∴a＝0，将P(m,n)代入y＝x2＋4中，则n＝m2－4，m－n＝－m2＋m－4，＝＝－． 7. 【答案】D　[解析] 联立解得或 故二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝ax＋b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象的交点坐标分别为(－，0)，(1，a＋b)． 对于D选项，由直线过第一、二、四象限，可知a<0，b>0.∵|a|>|b|，∴a＋b<0，从而(1，a＋b)应在第四象限，∴D选项不正确． 8. 【答案】D　[解析] ①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab<0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，∴abc<0.故①正确． ②∵抛物线开口向下，∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a.∵x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0.而b＝－2a，∴c＝－3a，∴b－c＝－2a＋3a＝a<0，即b<c，故②正确． ③∵x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0.而b＝－2a，∴3a＋c＝0.故③正确． ④由抛物线的对称性得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是(3，0)，∴当y>0时，－1<x<3，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选D. 二、填空题 9. 【答案】y=3(x+2)2-1 10. 【答案】a＜m＜n＜b　【解析】如解图，解方程(x－m)(x－n)＝3可以看作是求y＝(x－m)(x－n)与y＝3这两个函数图象的交点，由解图易得a＜m＜n＜b. 11. 【答案】　[解析]∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点， ∴=-=-2. ∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3，∴a≥， ∴a2+a+1的最小值为:2++1=. 12. 【答案】0.75　【解析】根据表格可得该图象关于y轴对称，故当x＝1.5和x＝－1.5时，y的值相等．∴m＝0.75. 13. 【答案】y＝－3(x－2)2 14. 【答案】　【解析】本题考查了已知二次函数的图象与一次函数的图象的交点个数，求字母未知数的值．把y＝3x2＋c与y＝4x联立方程组并消去y得3x2＋c＝4x，化简得3x2－4x＋c＝0，由于它们的图象只有一个交点，故此方程有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝(－4)2－4×3c＝0，解得c＝. 15. 【答案】4　[解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4. 16. 【答案】0 [解析] 依题意可知已知两点关于y轴对称，∴x1与x2互为相反数，即x1＋x2＝0.当x＝0时，y＝a·02＝0. 三、解答题 17. 【答案】 解：(1)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 由题意得解得 ∴函数解析式为y＝－x2＋4x－3. (2)∵图象的顶点坐标为(－2，3)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋3. 把(1，－3)代入， 可得a(1＋2)2＋3＝－3， ∴a＝－， ∴二次函数的解析式为y＝－(x＋2)2＋3(或y＝－x2－x＋)． (3)根据二次函数的图象可知：
A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)． 设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 把A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)代入y＝ax2＋bx＋c可得 解得 即二次函数的解析式为y＝x2－2x－3. 18. 【答案】 解：(1)－4　－1 (2)如图：
(3)增大 19. 【答案】 解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)， ∴－3＝9a，a＝－，∴抛物线对应的函数解析式为y＝－(x＋2)2. (2)抛物线的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0)． (3)∵a＝－<0， ∴当x<－2时，y随x的增大而增大． 20. 【答案】 解：(1)∵抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2－4ac＝16－8c＞0，∴c＜2. (2)m<n.理由：∵抛物线y＝2x2－4x＋c的对称轴为直线x＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y随x的增大而增大， ∴m＜n. 21. 【答案】 解：(1)把(2，1)代入y＝a(x－3)2－1， 得1＝a(2－3)2－1， 整理，得1＝a－1，解得a＝2. 故平移后的抛物线的解析式为y＝2(x－3)2－1. (2)由(1)知，平移后的抛物线的解析式为y＝2(x－3)2－1，则M(3，0)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝2(x－3)2－1， ∴平移前的抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－1， ∴P(1，－1)． 在y＝2(x－1)2－1中，令x＝0，得y＝1， 故B(0，1)， ∴BM＝，BP＝PM＝. ∵BM2＝BP2＋PM2， ∴△BPM为直角三角形，且∠BPM＝90°， ∴S△BPM＝BP·PM＝××＝. 22. 【答案】 解：(1)设y＝a(x＋1)(x－6)，把(5，－6)代入解析式，得a(5＋1)(5－6)＝－6， 解得a＝1，∴y＝(x＋1)(x－6)＝x2－5x－6. (2)存在． 如图，分别过点P，B向x轴作垂线，垂足为M，N. 设P(m，m2－5m－6)，其中－1＜m＜5，设四边形PACB的面积为S，则PM＝－m2＋5m＋6，AM＝m＋1，MN＝5－m，CN＝6－5＝1，BN＝6， ∴S＝S△AMP＋S梯形PMNB＋S△BNC＝(－m2＋5m＋6)(m＋1)＋(6－m2＋5m＋6)(5－m)＋×1×6＝－3m2＋12m＋36＝－3(m－2)2＋48， 当m＝2时，S有最大值为48，这时m2－5m－6＝22－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)． 23. 【答案】 .[解析](1)直接把点A(2，0)，B(-4，0)的坐标代入y=ax2+bx-4，可求得解析式;(2)连接OP，设点Px，x2+x-4，其中-4<x<0，四边形ABPC的面积为S，则S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=-(x+2)2+16，再根据二次函数的性质求S最大时P点的坐标. 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)， ∴ 解得 ∴这条抛物线的解析式为y=x2+x-4. (2)如图，连接OP， 设点Px，x2+x-4，其中-4<x<0， 设四边形ABPC的面积为S， 由题意得C点坐标为(0，-4)， ∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=×2×4+×4·(-x)+×4·-x2-x+4=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12=-(x+2)2+16. ∵-1<0，开口向下，∴S有最大值， ∴当x=-2时，四边形ABPC的面积最大， 此时，y=x2+x-4=-4，即P(-2，-4). ∴当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(-2，-4). 24. 【答案】 （1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)． 将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c， 得 解得 所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3． 对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)． （2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)． 因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b， 代入点C(－2,－3)，可得b＝3． 所以点D的坐标为（0，3）． ②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE． 由，得． 而DH＝7，所以PH＝3． 因此点E的坐标为（3，6）． 所以． 图2 图3 考点伸展 第（2）①用几何法求点D的坐标更简便：
因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO． 因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．