2019-2020学年第三中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年第三中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．在下列选项中，不是的图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数定义来对各选项中的图象是否为函数的图象进行判断，可得出符合条件的选项. 【详解】 对于A选项，当时，一个对应两个，A选项中的图象不是的图象；

对于B选项，对于定义域中的每个都有唯一的与之对应，B选项中的图象是的图象；

对于C选项，对于定义域中的每个都有唯一的与之对应，C选项中的图象是的图象；

对于D选项，对于定义域中的每个都有唯一的与之对应，D选项中的图象是的图象. 故选：A. 【点睛】 本题考查函数图象的判断，一般利用函数的定义来判断，要求自变量与因变量之间的对应关系为一对一或多对一，不能一对多，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 2．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是(　　) A．1 B． C．0，1 D．，0，1 【答案】D 【解析】由集合有且仅有两个子集,得知集合中只有一个元素,即方程只有一个解,分类讨论和的情况,求解值即可 【详解】 集合有且仅有两个子集,即为和集合本身,故集合中的元素只有一个,即方程只有一个解, 当时, 原方程为,即,符合题意；

当时，令, 综上,，或可符合题意 故选：D 【点睛】 本题考查集合的子集,分类讨论解的个数,形如的方程,一定要讨论是否为0,考查转化思想 3．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】【详解】 分析可得，可以取1，2；
可以取1，2；

又因为B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}， 所以B中所含的元素有：，，；

故选B. 4．已知集合，，若，则实数的满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据条件得出关于的不等式，从而可得出正确选项. 【详解】 ，，且，因此，. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用集合的包含关系求参数，对于无限数集之间的包含关系，可结合数轴来理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 5．已知的值为（ ） A．3 B．8 C．4 D． 【答案】A 【解析】主要考查指数式与对数式的互化和对数运算。

解：
6．函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对数函数的单调性可得出该函数在区间上的值域. 【详解】 由于对数函数在其定义域上是增函数，当时，， 即，因此，函数，的值域是. 故选：B. 【点睛】 本题考查对数函数在定区间上的值域问题，一般要结合单调性来求解，考查计算能力，属于基础题. 7．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知第一年后的价值为 ，第二年价值为 依此类推可知每年的价值成等比数列，其首项 公比为 进而可知n年后这批设备的价值为 故选D 8．下列说法正确的个数是（ ） ①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据空集的定义、性质对各命题的真假进行判断. 【详解】 由空集定义可知，空集是不含任何元素的集合，错误，错误，错误，表示的是由空集这个元素构成的单元素集合，错误，正确， 由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，正确，正确，且正确. 因此，正确的命题个数为. 故选：B. 【点睛】 本题考查空集有关的元素与集合、集合与集合包含关系的判断，熟悉空集的定义与性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 9．方程必有一根的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，然后利用零点存在定理可判断出方程的根所在的区间. 【详解】 由，得，构造函数. ，，，， ，由零点存在定理可知，方程必有一根的区间是. 故选：A. 【点睛】 本题考查零点存在定理判断方程根所在的区间，考查计算能力，属于基础题. 10．已知对于函数定义域内任意，有，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对任意的恒成立，得知函数的对称轴为直线，然后利用二次函数的对称轴方程可求出实数的值. 【详解】 二次函数的对称轴为直线， 对函数定义域内任意，有，则函数的对称轴为直线， 由题意可得，解得. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用二次函数对称轴方程求参数，熟悉与函数对称性的相关结论是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 11．下列函数中，不满足：的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：A中，B中，C中，D中 【考点】函数求值 12．已知集合，，则、的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得出，而集合，由此可得出、的包含关系. 【详解】 由题意知，对任意的，，. ，集合是正奇数集，则，因此，. 故选：C. 【点睛】 本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题. 二、填空题 13．已知集合U=，A=,B=,则A（）=_____. 【答案】{1，2，3}. 【解析】由题={2}，所以A（）={1，2，3}. 【考点】集合的运算 【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错． 14．函数的定义域是______. 【答案】 【解析】根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零、分母不为零，列出关于的不等式组，解出即可得出该函数的定义域. 【详解】 由题意可得，即，解得. 因此，函数的定义域是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查具体函数定义域的求解，解题时要熟悉一些常见函数求定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题. 15．已知，则______. 【答案】 【解析】利用换元法求出函数的解析式，即可得出的表达式. 【详解】 令，得，由，得， ，因此，. 故答案为：. 【点睛】 本题考查函数解析式的求解，对于简单复合函数的解析式求解，一般利用换元法来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 16．设函数，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】分和两种情况解不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】 当时，由，得，即，解得，此时；

当时，由，得，解得，此时，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查分段函数不等式的求解，解题时要对自变量所满足的定义域进行分类讨论，结合基本初等函数的单调性或一些常见的不等式解法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 三、解答题 17．已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】讨论二次函数图象的开口方向与对称轴，分二次函数在区间上单调递增和单调递减两种情况讨论，得出对称轴与区间的位置关系，列出关于实数的不等式，解出即可. 【详解】 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①若函数在区间上单调递增，则，解得；

②若函数在区间上单调递减，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查利用二次函数在区间上的单调性求参数，解题时要分析二次函数图象的开口方向以及对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 18．设是定义在上的函数，满足条件：
（1）；

（2）；

（3）在上是增函数. 如果，求的取值范围. 【答案】 【解析】令求出，将不等式化为，然后利用函数在定义域上的单调性得出关于的不等式组，解出即可. 【详解】 ，令，得， 又，. ， 可化为，即. 函数在上递增，∴，解得. 因此，实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查利用抽象函数的单调性解不等式，在利用单调性得出自变量的大小关系时，还应注意将自变量限制在定义域范围内，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．已知函数f（x）＝x＋，且此函数的图象过点（1，5）． （1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；

（2）判断函数f（x）在[2，＋∞）上的单调性，证明你的结论． 【答案】（1）m＝4，奇函数；
（2）f（x）在[2，＋∞）上单调递增，证明见解析． 【解析】试题分析：（1）函数图象过点（1，5）将此点代入函数关系式求出m的之即可，因为函数定义域关于原点对称，需要判断函数是否满足关系式或者．满足前者为偶函数，满足后者为奇函数，否则不具由奇偶性．此题也可以将看做与两个函数的和，由得奇偶性判断出的奇偶性．（2）利用函数单调性的定义式：区间上的时，的正负来确定函数在区间上的单调性． 试题解析：（1）（1）∵f（x）过点（1，5）， ∴1＋m＝5⇒m＝4． 对于f（x）＝x＋，∵x≠0， ∴f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称． ∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）． ∴f（x）为奇函数． 另解：，，定义域均与定义域相同，因为为奇函数，因此可以得出也为奇函数． （2）证明：设x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2， 则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝． ∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2， ∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0． ∴f（x1）－f（x2）<0． ∴f（x）在[2，＋∞）上单调递增． 【考点】1、求函数表达式；
2、证明函数的奇偶性；
3、证明函数的单调性． 20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数：
,其中是仪器的月产量．(注：总收益=总成本+利润) (1)将利润表示为月产量的函数；

(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；
；
（2）月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元 【解析】(1)根据利润=收益-成本,由已知分两段当时,和当时,求出利润函数的解析式；

(2)根据分段函数的表达式,分别求出函数的最大值即可得到结论． 【详解】 (1)由于月产量为台,则总成本为, 从而利润；

(2)当时,， 所以当时,有最大值25000；

当时,是减函数, 则． 所以当时,有最大值25000, 即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元． 【点睛】 本题主要考查了查函数的应用问题,根据条件建立函数关系,利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

21．如图，是边长为的正方形，是的中点，点沿着路径在正方形边上运动所经过的路程为，的面积为. （1）求的解析式及定义域；

（2）求面积的最大值及此时点位置. 【答案】（1），函数的定义域为；

（2）面积的最大值为，此时点与点重合. 【解析】（1）分点在线段（不包括点、）、（不包括点）、（不包括点），即对分、、三种情况讨论，计算出关于的表达式，即可得出函数的解析式，并求出该函数的定义域；

（2）分段求出函数的每支函数的最大值，比较大小后得出函数的最大值，并求出对应的的值，即可得出对应的点的位置. 【详解】 （1）①当点在线段（不包括点）时，，则，的高为， 此时，；

②当点在线段（不包括点）时，，， 的面积为， 的面积为， 直角梯形的面积为， 此时，的面积；

③当点在线段（不包括点）时，，的高为， 此时，. 综上所述，，函数的定义域为；

（2）当时，，此时，函数单调递增，则；

当时，，此时，函数单调递减，则；

当时，，此时，函数单调递减，则. 综上所述，当时，函数取得最大值，即. 因此，当点与点重合时，的面积取到最大值. 【点睛】 本题考查分段函数解析式的求解，同时也考查了分段函数最值的计算，在求分段函数解析式时，要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 22．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，记. （1）求的值；

（2）证明：；

（3）求的值. 【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）. 【解析】（1）分和两种情况讨论，根据指数函数的单调性列出关于的方程，解出即可得出实数的值；

（2）由（1）得出，然后利用通分以及指数的运算律证明出；

（3）利用（2）中的结论，结合倒序相加法可求出所求代数式的值. 【详解】 （1）当时，函数在上单调递减， 则函数的最大值为，最小值为， 由题意得，即，解得或，均不合乎题意；

当时，函数在上单调递增， 则函数的最小值为，最大值为， 由题意得，即，解得或，合乎题意. 因此，；

（2）由（1）知，；

（3）由（2）知，，…，， . 【点睛】 本题考查利用指数函数的最值求参数，以及利用指数运算证明等式与求值，在涉及指数函数单调性相关的问题时，要注意对底数的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想与计算能力，属于中等题.