2020届省三校高三第一次联合模拟考试数学（理）试题（解析版）_百校联盟高三第一次模拟考试

2020届省三校高三第一次联合模拟考试数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简集合,即可求出. 【详解】 由题意得，，∵B中，， ∴，∴，故选B. 【点睛】 本题考查集合间的运算,属于基础题. 2．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式，求出命题,成立的解集,把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】 由不等式，解得， 由得， 是的必要不充分条件，可知, 所以，故实数的取值范围是. 故选C. 【点睛】 本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题 3．已知向量 ，若，则实数（ ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【解析】先由题意，得到，，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果. 【详解】 因为， 所以，， 又，所以，即， 解得：. 故选：A 【点睛】 本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型. 4．若是三角形的一个内角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件,求出,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果. 【详解】 ∵，，， ，又∵， ∴，， . 故选C. 【点睛】 本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题. 5．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】求出，即为切线的斜率，可求出. 【详解】 因为， 所以，因此， 曲线在处 的切线斜率为， 又该切线与直线平行， 所以，∴. 故选A. 【点睛】 本题考查导数的几何意义,属于基础题. 6．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ） A．50 B．100 C．146 D．128 【答案】C 【解析】根据已知条件，先求出，再应用等比数列前项和为的性质，即可求出结果. 【详解】 由题意得∵，， ∴，根据等比数列的性质可 知，，，构成等比数列， 故，∴， 故. 故选C. 【点睛】 本题考查等比数列前项和的性质，对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键，属于基础题. 7．已知函数，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先判断的奇偶性，再证明单调性，判断出对应自变量的大小关系，利用单调性比，即可得出答案. 【详解】 ∵，∴ ，∴，∴， ∴函数是奇函数，∴当时，易得 为增函数， 故在上单调递增， ∵，，， ∴，∴. 故选D. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题. 8．关于函数，下列说法错误的是（ ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．有零点 D．在上单调递增 【答案】B 【解析】根据奇偶性定义可判断选项A正确；
依据周期性定义，选项B错误；
，选项C正确；
求，判断选项D正确. 【详解】 ， 则为奇函数，故A正确；

根据周期的定义，可知它一定不是周期函数， 故B错误；

因为，在 上有零点，故C正确；

由于，故在 上单调递增，故D正确. 故选B. 【点睛】 本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题. 9．已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由题意，得到点也在函数图象上，函数在上为减函数，将不等式化为，根据函数单调性，即可得出结果. 【详解】 根据题意，为偶函数， 且经过点，则点也在函数图象上， 又当时，不等式恒成立， 则函数在上为减函数， 因为，所以 解得或. 故选：C 【点睛】 本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型. 10．已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值. 【详解】 不等式组所表示的平面区域如图所示：
表示过可行域内的点与 点的直线的斜率的最大值， 由，解得， 这时， 故目标函数的最大值是. 故选D. 【点睛】 本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，属于基础题. 11．的内角，，的对边为，，，若，且的面积为，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到，求出，再由，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】 由余弦定理可得：，又， ，因此，故. 所以， 即 ，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4. 故选：D 【点睛】 本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型. 12．已知函数，令函数，若函数 有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造新函数，问题转化为与有两个交点，作出，利用数学结合思想，即可求得结果. 【详解】 令， 当时，函数， 由得得，得， 由得得，得， 当值趋向于正无穷大时，值也趋向于负无穷大， 即当时，函数取得极大值，极大值为 ， 当时，， 是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数 的图象如图：
要使（为常数）有两个不相等的实根， 则或，即若函数有两个不同零点， 实数的取值范围是． 故选C. 【点睛】 本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题. 二、填空题 13．若是偶函数，当时，，则=.______. 【答案】1 【解析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果. 【详解】 因为时，，且函数是偶函数， 所以. 故答案为：
【点睛】 本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型. 14．若关于的不等式的解集是，则_______. 【答案】或 【解析】先由题意得到关于的方程的两根分别是和，进而可求出结果. 【详解】 因为关于的不等式的解集是， 所以关于的方程的两根分别是和， 所以有，解得：或. 故答案为：或 【点睛】 本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 15．设为所在平面内一点，，若，则=__________. 【答案】 【解析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到，再由题意确定的值，即可得出结果. 【详解】 如图所示，由，可知，、、三点在同一 直线上，图形如右: 根据题意及图形，可得: ，， ，解得: ，则 故答案为：
【点睛】 本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 16．下列命题中：
①已知函数的定义域为，则函数的定义域为；

②若集合中只有一个元素，则；

③函数在上是增函数；

④方程的实根的个数是1. 所有正确命题的序号是______（请将所有正确命题的序号都填上）. 【答案】②③ 【解析】对于①根据复合函数与函数自变量的关系，即可判断为正确；

对于②等价于方程有等根，故，求出的值为正确；
对于对于③，可化为反比例函数，根据比例系数，可判断为正确；
对于④，作出，的图象，根据图像判断两函数有两个交点，故不正确. 【详解】 对于①，因为函数的定义域 为，即， 故的定义域应该是，故①正确；

对于②，，故，故②正确；

对于③，的图象由反比例函数 向右平移个单位，故其单调性与 函数单调性相同，故可判定 在上是增函数，③正确；

对于④，在同一坐标系中作出， 的图象，由图可知有两个交点. 故方程的实根的个数为2，故④错误. 故答案为①②③. 【点睛】 本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题，要求全面掌握函数的性质，较为综合. 三、解答题 17．已知命题，不等式恒成立；
命题:函数，；

(1)若命题为真，求的取值范围；

(2)若命题是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；
（2）. 【解析】（1）根据为真，得到时，即可，根据函数单调性，求出的最小值，进而可求出结果；

（2）若为真命题，根据题意得到，由函数单调性，求出在上的最大值，进而可求出结果. 【详解】 (1) 若为真，即，不等式恒成立; 只需时，即可， 易知：函数在递减，所以的最小值为， 因此. (2)若为真命题，则， 易知：在上单调递减，所以；

因此，故或， 因为命题是真命题，所以，均为真命题，故满足或 解得：， 因此实数的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型. 18．已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数在区间上的最小值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1),；
(2) 最小值为， . 【解析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；

（2）由得，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】 (1)因为 所以函数的最小正周期为. 由，得 故函数的单调递减区间为. (2)因为， 所以当即时， 所以函数在区间上的最小值为，此时. 【点睛】 本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型. 19．已知二次函数满足，，且0为函数的零点. （1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据已知条件可得的对称轴方程，结合，，即可求出; （2）从不等式中分离，不等式恒成立转为与函数的最值关系，即可求出结果. 【详解】 （1）设， 由题意可知，， 得到，即得到， 又因为0是函数的零点， 即0是方程的根， 即满足，得，又∵， ∴， ∵，∴， ∴. （2）当时，恒成立， 即恒成立；

令，， 则， ∴. 【点睛】 本题考查用待定系数法求解析式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，属于中档题题. 20．已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且. （1）求数列、的通项公式；

（2）记中，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】对于根据已知条件求出公差，即可求得通项；
对于利用已知前项和与通项关系，可求得通项；

（2）根据的通项公式，用裂项相消法，可求出的前项和. 【详解】 （1）由已知得， 解得，，所以， 当时，，∴ ， 两式相减得, 以2为首项公比为2的等比数列， . （2）由（1）知，所以 ∴. 【点睛】 本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前项和求通项，以及求数列的前项和，属于中档题. 21．已知函数. （1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3） 【解析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；

（2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间；

（3）求出，通过分析，可得到在增函数，从而有 ，转化为在上至少有两个不同的正根，，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值. 【详解】 （1）当时，， 这时的导数， 令，即，解得， 令得到， 令得到， 故函数在单调递减，在单调递增；

故函数在时取到最小值， 故；

（2）当时，函数 导数为， 若时，，单调递减， 若时，， 当或时，， 当时，， 即函数在区间，上单调递减， 在区间上单调递增. 若时，， 当或时，， 当时，， 函数在区间，上单调递减， 在区间上单调递增. 综上，若时，函数的减区间为，无增区间， 若时，函数的减区间为，，增区间为， 若时，函数的减区间为，，增区间为. （3）当时，设函数. 令，， 当时，，为增函数， ，为增函数， 在区间上递增， ∵在上的值域是， 所以在上至少有两个不同 的正根，， 令，求导得，， 令， 则， 所以在递增，，， 当，，∴， 当，，∴， 所以在上递减，在上递增， ∴，∴， ∴的最大值为. 【点睛】 本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题. 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为: 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. (1)求的极坐标方程；

(2)若直线与曲线相交于，两点，求. 【答案】(1) ；
(2). 【解析】（1）根据曲线的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；

（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】 (1)曲线的参数方程为: 为参数)， 转换为普通方程为: ， 转换为极坐标方程为: . (2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为: (为参数). 把直线的参数方程代入， 得到: ，(和为，对应的参数)， 故: ，， 所以. 【点睛】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 23．已知. (1)当时，求不等式的解集；

(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) ；
（2）. 【解析】（1）先由得，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；

（2）先由题意，得到当时，不等式恒成立转化为或恒成立，进而可求出结果. 【详解】 (1)当时，不等式可化简为. 当时，，解得，所以 当时，，无解；

当时，，解得，所以；

综上，不等式的解集为；

(2)当时，不等式可化简为. 由不等式的性质得或， 即或. 当时，不等式恒成立转化为或恒成立; 则或. 综上，所求的取值范围为. 【点睛】 本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.