高考试题 2016年高考新全国1卷文数试题解析（解析版）
第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，，则 （A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7} 【答案】B 【解析】 试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B. 【考点】集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解. (2) 设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a= （A）−3 （B）−2 （C）2 （D）3 【答案】A 【解析】 试题分析：，由已知，得，解得，选A. 【考点】复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为，选C. 【考点】古典概型 【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. （4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= （A） （B） （C）2 （D）3 【答案】D 【解析】 试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ （5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【考点】椭圆的几何性质 【名师点睛】求椭圆或双曲线的离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e . （6）将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为 （A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+) （C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–) 【答案】D 【解析】 试题分析：函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D. 【考点】三角函数图像的平移 【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；
二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数. （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A 【解析】 试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A． 【考点】三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键. （8）若a>b>0，0<c<1，则 （A）logac<logbc （B）logca<logcb （C）ac<bc （D）ca>cb 【答案】B 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；
若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. （9）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 试题分析：函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D. 【考点】函数的图像与性质 【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. （10）执行下面的程序框图，如果输入的n=1,则输出的值满足 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 试题分析：第一次循环：， 第二次循环：， 第三次循环：此时满足条件，循环结束，输出，满足．故选C. 【考点】程序框图与算法案例 【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题的形式出现,难度不大,求解此类问题只需按照程序逐步列出运行结果. （11）平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平 【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. （12）若函数在单调递增，则a的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 试题分析：对恒成立， 故，即恒成立， 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C． 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x= . 【答案】 【解析】 试题分析：由题意， 【考点】向量的数量积及坐标运算 【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)= . 【答案】 【解析】 试题分析：由题意， 解得所以， 【考点】三角变换 【名师点睛】三角函数求值,若涉及开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换. （15）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为 . 【答案】 【考点】直线与圆 【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系：在求圆的方程时常常用到. （16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；
生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. 【答案】 【解析】 试题分析：设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件 目标函数. 约束条件等价于 ① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时， 取得最大值. 解方程组，得的坐标为. 所以当，时，. 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 【考点】线性规划的应用 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知是公差为3的等差数列，数列满足. （Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和. 【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ） 【考点】等差数列与等比数列 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. （18）（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G. （Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）作图见解析，体积为. 【解析】 试题分析：证明由可得是的中点. （Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 在等腰直角三角形中，可得四面体的体积 试题解析：（I）因为在平面内的正投影为，所以 因为在平面内的正投影为，所以 所以平面，故 又由已知可得，，从而是的中点. （II）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影. 理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影. 连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心. 由（I）知，是的中点，所以在上，故 【考点】线面位置关系及几何体体积的计算 【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. （19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若=19，求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）19；
（Ⅲ）19. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）分x19及x>19，分别求解析式；
（Ⅱ）通过频率大小进行比较；
（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定. 试题解析：（Ⅰ）当时，；
当时，，所以与的函数解析式为. （Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19. （Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【考点】函数解析式、概率与统计 【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. （20）（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H. （I）求；
（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I）2；
（Ⅱ）没有. 【解答】 试题分析：先确定，的方程为，代入整理得，解得，，因此，所以为的中点，即.（Ⅱ）直线的方程为，与联立得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点. （Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：
直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点. 【考点】直线与抛物线 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；
解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；
证明垂直；
证明定值问题. 其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. （21）（本小题满分12分）已知函数. （I）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(I)见解析；
(II) . 【解析】 试题分析：(I)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；
(II)借助第(I)问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为. 试题解析：
(I) (i)设，则当时，；
当时，. 所以f（x）在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-2a). ①若，则，所以在单调递增. ②若，则ln(-2a)<1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减. ③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减. (II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增. 又，取b满足b<0且， 则，所以有两个零点. (ii)设a=0，则，所以只有一个零点. (iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增. 又当时，<0，故不存在两个零点；
若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点. 综上，a的取值范围为. 【考点】函数单调性，导数应用 【名师点睛】本题第(I)问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；
第(II)问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，OA为半径作圆. (I)证明：直线AB与O相切；
(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD. 【答案】(I)见解析；
(II)见解析. 【解析】 试题分析：(I)设是的中点，证明；
(II) 设是四点所在圆的圆心，作直线，证明，，由此可证明． 试题解析：（Ⅰ）设是的中点，连结， 圆心，作直线． 由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以． 同理可证，，所以． 【考点】四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好长度关系与角度关系的转化,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；
三角形的相似与性质；
四点共圆；
圆内接四边形的性质与判定；
切割线定理. （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4. （I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a． 【答案】（I）圆，；
（II）1. 【解析】 试题分析：（I）把化为普通方程，再化为极坐标方程；
（II）通过解方程组可以求得. 试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程. 是以为圆心，为半径的圆. 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 . （Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组 若，由方程组得，由已知， 可得，从而，解得（舍去），. 时，极点也为的公共点，在上.所以. 【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用. （24）（本小题满分10分），选修4-5：不等式选讲 已知函数. （I）画出的图像；
（II）求不等式的解集． 【答案】（I）见解析；
（II）. 【解析】 试题分析：（I）化为分段函数作图；
（II）用零点分区间法求解. 试题解析：（Ⅰ）的图像如图所示. （Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得或；
【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法 【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.
