2020年高考理科数学新课标必刷试卷十（含解析）

2020年高考必刷卷10 数学（理） （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，，则集合中元素的个数为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题意解出集合，再根据题意分析中元素为中的子集，可求出． 【详解】 解：因为集合，， 所以，1，， 因为， 所以中的元素为的子集个数，即有个， 故选：． 【点睛】 本题考查集合，集合子集个数，属于基础题． 2．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　) A．1 B．0 C．1＋i D．1－i 【答案】D 【解析】 因为为纯虚数，所以，得，则有，故选D. 3．已知实数满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 综上所述，故 故选 4．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润收入支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析， 基本事件总数，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润收入支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月， 这2个月的利润（利润收入支出）都不高于40万包含的基本事件个数， 这2个月的利润（利润收入支出）都低于40万的概率为， 故选：
【点睛】 本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题． 5．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 用排除B，C；
用排除；
可得正确答案. 【详解】 解：当时，，， 所以，故可排除B，C；

当时，，故可排除D． 故选：A． 【点睛】 本题考查了函数图象，属基础题． 6．安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不能超过利润的.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奖励规则，函数必须满足：，增函数， 【详解】 对于函数：，当时，不合题意；

对于函数：，当时，不合题意；

对于函数：，不满足递增，不合题意；

对于函数：，满足：，增函数， 且，结合图象：
符合题意． 故选：D 【点睛】 此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验. 7．已知正项等差数列中，若，若，，成等比数列，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 正项等差数列中，，，构成等比数列，即构成等比数列，依题意，有，解得或（舍去），，故选A. 8．如图，在中，若，，，用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果. 【详解】 本题正确选项：
【点睛】 本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；
关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则. 9．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据双曲线的定义，可得|AF1|-|AF2|=2a， ∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB| ∴|BF1|=2a 又∵|BF2|-|BF1|=2a， ∴|BF2|=|BF1|+2a=4a， ∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120° ∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|•|BF2|cos120° 即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-））=28a2， 解得c2=7a2，又c=所以 方程为 故选C 点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键． 10．《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；
人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据程序框图确定表示的含义，从而可利用方程组得到输出时的值，从而得到输出时的取值，找到符合题意的判断条件. 【详解】 由程序框图可知，表示人数，表示养价 该程序必须输出的是方程组的解，则 时输出结果 判断框中应填 本题正确选项：
【点睛】 本题考查根据循环框图输出结果填写判断框内容的问题，关键是能够准确判断出输出结果时的取值，属于常考题型. 11．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【解析】该几何体是正方体截去一个三棱台所得，体积为，故选D． 12．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 等价于或，由有唯一解可得有两个不同的根，转化为的图象有两个交点，利用数形结合可得结果. 【详解】 可变形为， 即或， 由题可知函数的定义域为，当时， 函数单调递增；
当时，函数单调递减， 画出函数的大致图象，如图所示， 当且仅当时，， 因为方程恰有三个不同的实数根， 所以恰有两个不同的实数根， 即的图象有两个交点， 由图可知时，的图象有两个交点， 所以实数的取值范围为，故选D． 【点睛】 本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．在数列中，，，前项和为，则=_______________。

【答案】 【解析】由题意可得，故数列{an}为等比数列，且公比q=2， 故 故答案为：
14．设，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 已知，，，直接利用基本不等式转化求解的最大值即可． 【详解】 ，，，即，两边平方整理得， 当且仅当，时取最大值；

故答案为：
【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件． 15．设曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出，的导数，结合导数的几何意义及切线垂直可求. 【详解】 设，因为的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为；
因为的导数为，曲线在点处的切线斜率为，所以，解得，代入可得，故. 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义，利用导数解决曲线的切线问题一般是考虑导数的几何意义，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 16．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则_______． 【答案】1 【解析】将点坐标代入抛物线方程得，解得，即，，由于为圆的半径，而，所以，，故，即，两边平方化简得，解得，故，. 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查圆和直线的位置关系，考查特殊的等腰三角形中解三角形的方法.首先点是在抛物线上的，坐标满足抛物线的方程，由此求得的坐标，然后根据直线截圆所得弦长，得到点横坐标和圆半径的关系，由此列方程求解出的值. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．在锐角三角形中，BC=1，，. （1）求的值；

（2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 (1)由三角形ABC为锐角三角形,根据诱导公式化简,即可求出的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出的值,由AB,BC及的值,利用余弦定理即可求出AC的长; (2)由BC,AC及的值,利用正弦定理求出的值,利用同角三角函数间的基本关系求出的值,然后利用两角差的正弦函数公式化简后,把各自的值代入即可求出值. 【详解】 解：（1）为锐角三角形， 在中，由余弦定理得：
（2）在中，由正弦定理得 得 . 【点睛】 此题考查了三角函数的恒等变形,正弦定理及余弦定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，． （Ⅰ）求证：直线平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；

（Ⅲ）设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；
(Ⅱ)；
(Ⅲ). 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；

(Ⅲ)设，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点到底面的距离． 【详解】 (Ⅰ)由菱形的性质可知， 由线面垂直的定义可知：，且， 由线面垂直的判定定理可得：直线平面；

(Ⅱ)以点A为坐标原点，AD,AP方向为y轴,z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 则直线PB的方向向量，很明显平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，. (Ⅲ)设，且， 由于， 故：，据此可得：， 即点M的坐标为， 设平面CMB的法向量为：，则：
， 据此可得平面CMB的一个法向量为：， 设平面MBA的法向量为：，则：
， 据此可得平面MBA的一个法向量为：， 二面角的余弦值为，故：， 整理得 ， 解得：. 由点M的坐标易知点到底面的距离为或者. 【点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆C的离心率为，的周长为8. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k的值；
若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在， 【解析】 【分析】 （I）根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程. （II）设出两点的坐标，联立直线的方程和椭圆方程，计算判别式求得的取值范围，并写出根与系数关系，根据圆的几何性质得到，由此得到，由此列方程，解方程求得的值. 【详解】 （I）由题意知，所以所求椭圆的标准方程是. （II）假设存在这样的实数使得以为直径的圆恰好经过原点. 设，联立方程组， 消去得， 由题意知，是此方程的两个实数解， 所以，解得或， 所以. 又因为以为直径的圆过原点，所以，所以， 而， ，即，解得. 故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点. 【点睛】 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20．设函数. （1）当时，求在点处的切线方程；

（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明. 【答案】（1）；
（2）函数在上存在零点，证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求导，求出，即可求解；

（2）根据的正负判断的单调性，结合零点存在性定理，即可求解. 【详解】 函数的定义域为. （1）当时，， 又，切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为；

（2）当时，， 所以在上单调递减， 当时，， 又 ， 所以函数在上存在零点. 【点睛】 本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的存在性的判断，属于中档题 21．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20～10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20～9：40记作区间，9:40～10:00记作，10:00～10:20记作，10:20～10:40记作.比方：10点04分，记作时刻64. （1）估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记为9:20～10:00之间通过的车辆数，求的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在9:20～10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46～10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若，则，，. 【答案】（1）10点04分；
（2）详见解析；
（3）819辆. 【解析】 【分析】 （1）用每组中点值乘以频率，然后相加，得到平均值.（2）先用分层抽样的知识计算出量车中位于的车辆数，然后利用超几何分布的知识计算出分布列，并求得数学期望.（3）由（1）可知，计算出方差和标准差，利用正态分布的对称性，计算出在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆的概率，乘以得到所求车辆数. 【详解】 解：（1）这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分。

（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，即，所以的可能取值为0，1，2，3，4。

所以，，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以. （3）由（1）可得， ， 所以. 估计在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数， 由，得 ， 所以，估计在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆数为（辆）. 【点睛】 本小题主要考查根据频率分布直方图估计平均数和方差，考查超几何分布概率计算以及数学期望的计算，考查正态分布计算，属于中档题. （二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）. （Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角. 【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用可将曲线的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）解法一：可直线曲线截直线所得线段的中点坐标为，设弦的端点分别为，，利用点差法可求出直线的斜率，即得的值；

解法二：写出直线的参数方程为，将直线参数方程与曲线的普通方程联立，由可求出角的值. 【详解】 （Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数），得：， 曲线的参数方程化为普通方程为：；

（Ⅱ）解法一：中点极坐标化成直角坐标为. 设直线与曲线相交于，两点，则，. 则，②-①得：， 化简得：，即， 又，直线的倾斜角为；

解法二：中点极坐标化成直角坐标为， 将分别代入，得. ， ，即. ，即. 又，直线的倾斜角为. 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数的最小值为． （1）若，，．求证：；

（2）若，．，求的最小值． 【答案】(1) 证明见解析 (2)4 【解析】 【分析】 （1）运用绝对值不等式的性质，可得的最小值，再由分析法证明不等式，注意平方法和因式分解法；

（2）由条件运用基本不等式可得，再由基本不等式和不等式的性质：传递性，即可得到所求最小值． 【详解】 解：（1）证明：函数， 当时，取得等号， 即的最小值为2，即， 可得，，，即有，， ， 由，，上式显然成立， 故；

（2），， ，由， 可得，当且仅当时，取得等号， 则， 当且仅当，时，取得最小值4． 【点睛】 本题考查绝对值函数的最值，以及不等式的证明，注意运用分析法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题． 以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念） 然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）        先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

   做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

 主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

  积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

  精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

  配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；
老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

  合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间， 注意事项 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

​ 数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。