[初中数学,将军饮马]初二数学将军饮马
第六章 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。
PA+ PB的最小。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。
PA+PB的最小值为AB′。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。
连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。
的最大值为AB。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。
作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。
的最大值为AB′。
当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。
连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。
的最小值为0。
模型实例 例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 。
例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD 上的动点，则的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，则EC+ED的最小值是 。
2．如图，点C的坐标为（3，），当△ABC的周长最短时，求的值。
3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一 动点，求的最小值与最大值。
模型2 角到定点 模型 作法 结论 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P“，连接 P′P“，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。
△PCD周长最小为P′P“。
点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。
作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。
PC+CD的最小值为P′C。
点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。
分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。
PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。
模型实例 例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一 点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？ 热搜精练 1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点， 当△PAB的周长取最小值时：
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？ 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别 找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。
3．如图，在轴上找一点C，在轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并 求直线CD的解析式及点C、D的坐标。
4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4， 点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段 AQ+PQ+PB的最小值是多少？ 模型3 两定点一定长 模型 作法 结论 如图，在直线上找M、N两 点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。
将点A向右平移个单位到A′，作A′关于直线的对称点A“，连接A“B交直线于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求。
AM+MN+NB最小为A“B 。
如图，∥，，之间距离为，在，分别找M、N两点，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。
将点A向下平移个单位到A′，连接A′B交直线于点N，将点N向上平移个单位到M，点M、N即为所求。
AM+MN+NB的最小值为A′B+。
模型实例 例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示， 点A在轴正半轴上，点C在轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段 OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF 的周长最小时，求点E的坐标。
热搜精练 1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在， 轴、轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。
（1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
2．村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B 之间的距离最短？
