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大学生数学竞赛训练一（极限） 一、 计算 解：因为 原式 又因为 所以。

二、 计算 解：因为 所以。

三、 计算 解：设，则 因为，所以 。

四、 计算 解：因为 ，所以 五、 设数列定义如下 证明：极限。

证明：方法一、 考虑函数，因为，当时，。

由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以 …… …… …… …… 由于，，所以数列是单调有界的，由单调有界准则可得存在。显然，。

现证明，用反证法证明，设，且， 取，因为，所以存在整数，当时有 由此可得正项级数收敛；

另一方面，由，级数发散，由比较判别法，正项级数发散，这是一个矛盾，所以。

方法二、 考虑函数，因为，当时，。

由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以 …… …… …… …… 由夹逼准则可得，，又因为 所以数列是单调递增的，利用斯托尔茨定理 。

六、 设函数在区间上有定义，且在每一个有限区间上是有界的，如果，证明：
证明：对于任取的，因为，所以存在 当时，有 取，令，则有 因为 …… …… 所以 由于在每一个有限区间上是有界的，所以存在，当时有 取，当时有 由此可得。

七、