数学教育实证研究及教师专业发展

　　2017年4月，“2017年高中数学教师工作室协作体论坛暨‘高中数学名师工作室丛书’启动仪式”在江苏省无锡市召开，南京师范大学博士生导师喻平教授受邀做了学术报告《数学核心素养的评价与教学》。在论坛间隙，笔者访谈了喻平教授，访谈围绕数学教育实证研究及教师专业发展等话题展开（以下访谈过程中，笔者简称“张”，喻平教授简称“喻”）。
　　一、数学学习心理的CPFS结构理论
　　张：喻教授，非常感谢您能接受我的访谈。对于很多数学教育工作者而言，提起您必然会说到CPFS结构，所以我想我们的交流还是从CPFS结构开始吧。
　　喻：概念域、概念系、命题域、命题系合在一起就是CPFS（由概念、命题、域、系四个英文单词的第一个字母组成），用以描述数学学习中学生特有的认知结构。自从2002年提出CPFS结构的理论框架以来，很长一段时间内，我的主要精力就是进行相关的实证和推广应用工作。关于此项工作的主要研究成果都收录在《数学学习心理的CPFS结构理论与实践》那本书中。
　　张：您提出的CPFS结构可以说是填补了我国数学知识表征研究的空白，对数学知识的教与学具有广泛的指导意义，在我们新青年数学教师工作室编著的《当代中国数学教育名言解读》中也特别做了收录。您当初是怎么想到这个结构的，能否做一个简要介绍？
　　喻：这个怎么说呢，其实是教学反思的结果。我曾经在中学教过很多年书，教的过程中就发现很多问题。比方说，你讲一个概念，你觉得你讲清楚了、学生也听明白了，但学生拿到题目却经常一做就错。原因是什么？原因是他们对概念的理解往往是片面的。因为书上的定义只是一个，而且只是从一个侧面揭示概念的内涵，一旦换一个角度描述同一个概念（实际上这两个定义是等价意义的不同形式），他们就会不知所云。所以我一直主张，学一个概念一定要多学几个等价定义，形成一个概念域，这样才能真正理解这个概念，包括命题也是。这些其实是在中学教书时就有的想法，不是后来搞研究时的灵机一动，那些没有教过书的人可能是想不到的，他们不知道学生问题到底出在哪个地方。
　　张：前几天在中国知网上检索了一下您的博士论文，很是惊讶，居然有近8000的下载量。现在听您这么一介绍，终于理解了，基于实践反思生长出来的理论建构当然有说服力，更有生命力。
　　喻：刚才我们说到，对同一个数学概念，可以从不同的侧面或不同的角度去刻画，于是一个数学概念的所有等价定义的图式就称为概念域；而数学概念之间往往存在弱抽象、強抽象或广义抽象关系，一组具有数学抽象关系的概念网络的图式就叫作概念系。当然，CPFS是个体对数学概念、数学命题的一种心理表征，或者说是个体头脑中的内化形式；个体的CPFS结构存在个别差异，是解决数学问题的知识基础，对解题效果有直接的影响。
　　张：那么如何优化CPFS结构，以改善学生的数学学习呢？
　　喻：现在很多学生完全按“套路”来学习，见过的题还能做，没见过的题就不会做，很难举一反三。就解题而言，CPFS结构很有用，按这个方式训练学生，成绩提高会很快，更重要的是，这样学习的知识易理解、能迁移、可创新。我们曾经做过一系列的实证研究，发现个体的CPFS结构与问题表征、自我监控、知识迁移、提出问题等都有内在联系，良好的CPFS结构有助于数学学习。
　　如何优化学生的CPFS结构？
　　可以运用生长教学策略进行教学：从数学知识的生长点出发，按数学知识的自然生长机理设计教学，让学生在头脑中生长出有序的数学知识网络结构；提供变式，巩固学生的CPFS结构中起固定作用的观念；引导学生反思建立畅通各个结点间的脉络联系，促使学生习得的数学知识在其头脑中呈现合理布局，形成层次分明的、有活性的、灵动的数学知识网络结构。
　　也可以采用自由回忆、结点连线、辨认推理、命题应用等教学策略，其做法是：给出一组概念或命题，要求学生依据概念之间的抽象关系或命题之间的推出关系在概念或命题之间连线；或者给出某个问题的条件，让学生去推测可能产生的结论；或者给出某个概念或命题，要求学生自编该概念或命题应用的问题。如，在高一学生学习了函数概念“对应说”后，可以让他们自由回忆：请你尽量多地归纳出求函数定义域的原则。如果学生给出的结论越多，那么说明他们形成相应的新概念与其CPFS结构的联系越紧密。又如，在学生遇到了具体条件“已知二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴方程为x=13”时，可以让他们自由回忆：由此可以得到系数a、b、c的一些什么结论？学生对命题应用问题和自由回忆问题的回答可反映出其对函数的有关性质及思想方法的理解：如果回答得越发散、开放，那么说明关于函数知识的新CPFS结构越完善。
　　二、数学教育研究中的实证研究
　　张：您刚才提到对CPFS结构理论做了很多实证研究。能不能说一说为什么要进行实证研究？
　　喻：在我当初提出CPFS结构时，它其实只是一种构想中的理论。这就至少需要证明两个问题：一是它到底存在不存在，如果不存在，就根本没价值，别人会说它是虚无的、缥缈的；二是它到底对学生的学习有没有影响，如果跟学生的学习没有关系，那么别人就不需要关心它。
　　要证明存在性很简单，只要用量表测试一下学生有没有这个结构，以及彼此之间有没有差异。比如，“证明两条线段相等，你可以回忆出多少种方法证明？”一个学生想出了很多，就说明他的命题系结构良好。再如，检测学生二次函数知识体系掌握得怎么样，可以给学生一个图像（抛物线），让他们看图后写出观察到的结果，可以写判别式，也可以写根与系数的关系。通过这个，就可以看出他们的知识体系。只要有差异，这个结构就存在。
　　第二个问题就比较复杂了，比如，CPFS结构和认知结构、认知迁移、问题提出、问题解决等有没有关系， CPFS结构很好是不是说明迁移能力很强等等。我们做了一系列实证研究，在《数学学习心理的CPFS结构理论与实践》一书里写了很多：第二章就是采用实证方法验证CPFS结构的存在性和对学生学习数学的影响；第三章则是将CPFS结构理论用于教学实践，主要回答“应该怎么做”和“这样做的效果如何”。