2019-2020学年市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年市第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．以下函数在R上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】 A.的定义域是，且在是减函数，故不正确；

B.的定义域是，函数在和时单调递减函数，故不正确；

C.在上单调递减，故正确；

D.在单调递减，在单调递增，故不正确. 故选：C 【点睛】 本题考查函数的单调性，属于基础题型. 3．若是函数的零点，则所在的一个区间是（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【答案】B 【解析】根据零点存在性定理，判断区间端点的函数值，若，可知零点必在此区间. 【详解】 是减函数， 且， ， ， ， 零点所在区间是. 故选：B 【点睛】 本题考查零点存在性定理，属于简单题型，当，若满足，则存在，使. 4．若函数的定义域为[－2，2]，则的值域为（ ） A．[－1，7] B．[0，7] C．[－2，7] D．[－2，0] 【答案】C 【解析】判断函数在的单调性，得到函数的值域. 【详解】 函数， 函数的对称轴是， 函数在单调递减，在单调递增， 当时， 可知，时，函数取得最小值-2， 当时，函数取得最大值7， 函数的值域是. 故选：C 【点睛】 本题考查二次函数的值域的求法，属于简单题型. 5．已知函数f(x)＝那么f 的值为(　　) A．27 B． C．－27 D．－ 【答案】B 【解析】利用分段函数先求f（）的值，然后在求出f 的值． 【详解】 f ＝log2＝log22－3＝－3，f ＝f(－3)＝3－3＝. 【点睛】 本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题． 6．若偶函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数，则（　　） A．f（-1.5）＜f（-1）＜f（2） B．f（-1）＜f（-1.5）＜f（2） C．f（2）＜f（-1）＜f（-1.5） D．f（2）＜f（-1.5）＜f（-1） 【答案】D 【解析】根据单调性可得，结合奇偶性可得结果. 【详解】 在上是增函数， 又， 又为偶函数，，故选D． 【点睛】 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． 7．若=log20.5，b=20.5，c=0.52，则，b，c三个数的大小关系是（　　） A．＜b＜c B．b＜c＜ C．＜c＜b D．c＜＜b 【答案】C 【解析】a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1， 则a＜c＜b， 故选：C． 8．若时，在同一坐标系中，函数与的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【详解】 解析过程略 9． 若函数在区间为增函数，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上是增函数, 对称轴 即.故选D． 点晴：本题考查二次函数的单调性问题，常见题型有：（1）直接求函数的单调区间；
（2）根据函数的单调区间求参数. 求解这类问题的关键是：（1）首先确定二次函数图象的开口方向；
（2）根据题目要求研究二次函数对称轴与区间的位置关系,要注意题目中的要求和给定的区间. 10．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案． 【详解】 由log2x-1≥0，解得x≥2． ∴函数的定义域为[2，+∞）． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题． 11．设是上的奇函数，且在区间上递减，，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，函数f（x）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f （2）=0， 则函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（-2）=-f（2）=0， 当x＞0时，若f（x）＞0，必有0＜x＜2， 当x＜0时，若f（x）＞0，必有x＜-2， 即f（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）；

故答案选：C． 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；
对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。

12．已知函数若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：①当x≥4时，是减函数，且1＜f（x）≤2；
②当x＜4时，f（x）=log2x在（0，4）上是增函数，且f（x）＜f（4）=2；
且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；
作出函数的图象如下：
故实数k的取值范围是（1，2）；

故选：D． 点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案． 二、填空题 13．已知函数是奇函数，当时，则______． 【答案】 【解析】由题意知，从而代入函数解析式求解即可． 【详解】 函数是奇函数， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性的应用属于基础题． 14．已知，则的值为_______。

【答案】2 【解析】直接把已知方程两边同时平方即得的值. 【详解】 把已知方程两边同时平方得故答案为：2 【点睛】 本题主要考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 15．函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________． 【答案】9 【解析】当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为. 16．函数的值域为________. 【答案】 【解析】首先换元，设，，然后判断函数的单调性，并求函数的值域. 【详解】 设 ， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值0， 当时，函数取得最大值9. 故答案为：
【点睛】 本题考查换元法，以及二次函数的值域，属于简单题型. 三、解答题 17．求值：（1） （2）2log310＋log30.81 【答案】（1）（2）4 【解析】试题分析：（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果. 试题解析：
(1)， (2)2log310＋log30.81= 18．集合，集合． （）求，． （）若全集，求． 【答案】（），或;（） 【解析】由题意集合，，利用绝对值不等式及一元一次不等式解出集合A，B；

（1）直接利用交集，并集的运算法则求出A∩B．A∪B；

（2）求出A的补集，然后求解(CUA)∩B，即可． 【详解】 （）， 即， 得或， 故或， 又， 得， 或． （）或， ， ， ∴(． 【点睛】 本题是基础题，考查一次、二次不等式的解法，集合的基本运算，解题时可以借助数轴解答． 19．如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是36m。

（1）把每间熊猫居室的面积s（单位：）表示为宽x（单位：m）的函数，求函数的解析式，并写出定义域；

（2）当宽为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室最大面积是多少？ 【答案】（1） ，定义域：；

（2）当宽为6时，每间熊猫居室的最大面积是54 【解析】（1）宽为，长为，求面积；
（2）根据（1）可知， ，定义域：，求二次函数给定区间的最值. 【详解】 （1）宽为，长为， 函数的定义域需满足 . ，定义域：
（2） ， 当时，面积取得最大值108， 每间熊猫居室的最大面积是. 所以，当宽为6时，每间熊猫居室的最大面积是54. 【点睛】 本题考查二次函数的实际问题，意在考查抽象，概括，应用和计算能力，属于简单题型. 20．已知a，b常数，且，，，方程有两个相等的实根. （1）求函数的表达式；

（2）若，判断的奇偶性. 【答案】（1） ；
（2）奇函数. 【解析】（1） ，因为有两个相等的实根，所以 ，并且，解方程求解；
（2）先求，再根据定义判断函数奇偶性. 【详解】 （1） 有两个相等的实数根， 则 ，解得 ， ，， ；

（2） 函数的定义域是 ， 是奇函数. 【点睛】 本题考查二次函数解析式的求解，以及函数奇偶性的判断，属于简单题型. 21．已知函数是定义在上的偶函数，当时， （1）求函数的解析式，并画出函数的图象． （2）根据图象写出的单调区间和值域． 【答案】(1),图见解析 (2) 函数的单调递增区间为,单调递减区间为，函数的值域为 【解析】【详解】试题分析：解：（1）由，当， 又函数为偶函数， 故函数的解析式为 （2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为 单调递减区间为，函数的值域为 【考点】函数奇偶性和函数单调性的运用 点评：解决该试题的关键是利用对称性作图，并能加以结合单调性的性质来求解最值。属于基础题。

22．已知函数，且时，总有成立． 求a的值；

判断并证明函数的单调性；

求在上的值域． 【答案】（1） ；

（2）见解析；

(3) . 【解析】【详解】试题分析：根据条件建立方程关系即可求a的值；

根据函数单调性的定义判断并证明函数的单调性；

结合函数奇偶性和单调性的定义即可求在上的值域． 试题解析：
，，即， ， ． 函数为R上的减函数， 的定义域为R， 任取，且， . ． 即 函数为R上的减函数． 由知，函数在上的为减函数， ， 即， 即函数的值域为. 点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；
（2）作差：
，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；
（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；
（4）下结论：根据定义得出其单调性.