中考数学中极端法问题的考查功能分析

　　摘要：极端法是通过考虑问题的极端状态，探求解题方向或转化途径的一种常用方法.具有如下积极的考查功能：有利于数形结合思想的考查;有利于转化与化归的数学思想的考查;有利于运动变化中的空间想象能力的考查.当然也有一定的消极功能：负面影响高中函数最值理论的学习;负面影响高中解析几何理论的学习.
　　關键词：数形结合;化归思想;空间想象;负面影响
　　极端法是通过考虑问题的极端状态，探求解题方向或转化途径的一种常用方法.在中考中主要表现为如下形式：一是在研究几何变量（包括动点、动线、动角、动图等）中，以几何变量的极端位置为主要研究对象，探求问题的结论，必要时再进行一般性的讨论;二是在研究代数问题中，通过考察代数变量的极值为突破口，寻找解决思路.这种问题具有较强的综合性，考查的知识点较多，考查的数学思想方法层面较高，所以在中考中命制这类问题，具有如下积极的考查功能：有利于数形结合思想的考查;有利于转化与化归的数学思想的考查;有利于运动变化中的空间想象能力的考查.当然也有一定的消极功能：负面影响高中函数最值理论的学习;负面影响高中解析几何理论的学习.
　　 1极端法问题积极的考查功能
　　 1.1有利于数形结合思想的考查
　　数形结合思想是最基本的数学思想之一，所以在中考中占重要地位，特别是几何问题代数化与代数问题几何化等问题都集中体现了这一数学思想，在相当多省市的中考试卷中出现了极端法与数形结合的综合问题，让试题更具特色，使试题的解法更具活力，对思维深刻性的考查更有层次性.
　　例1 （2012年安徽中考）如图1，点A在半径为2的?O上，过线段OA上的一点P作直线l，与?O过点A的切线交于点B，且?APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）（注：求解本题时可将点视为三角形的特殊情况），
　　分析由于点P是线段OA上的动点，所以容易想到点P的两个极端位置O与A.当点P在O处时，y取得最大值;当点P在A处时，y=0，故可以排除选项A与C，但这两个极端位置无法判断选项B与D的正确性，所以从图形抽象数量关系
　　考虑，由此可知选项B错，D对.当然本题也可不求函数关系，只需一个特殊点，比如取OA的中点P，计算出此时的y=，
　　而选项B的图象对应y=，
　　只有选项D符合要求.本题的解决是通过几何图形的特殊点（包括极端位置）提炼数量特征（由图到数），再从数量特征回到图象（由数到形），分析图象的正确性，显然是对数形结合思想的重点考查.
　　例2 （2012年珠海中考）如图2，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B.
　　（1）求二次函数与一次函数的解析式;
　　（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围.
　　分析（1）容易求得二次函数是y=（x-2）2-1，一次函数是y=x-1;
　　（2）因为A、B坐标为（1，0），（4，3），所以当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4.A，B是满足不等式hx+b≥（x-2）=+m的两个极端位置，最后得到结论1≤x≤4，其依据是图形.思路是先求出极端位置的坐标（即代数特征），再由这个代数特征控制图形特征：线段AB在抛物线段的上方，端点重合.本题实现了极端位置的代数特征与图形特征相融的命题目标，正是数形结合的标志.
　　 1.2有利于转化与化归数学思想的考查
　　加强转化与化归思想的考查一直是中考的主流，包括数与形、方程与函数、高次与低次、特殊与一般、未知与已知、正面与反面、整体与局部、分散与集中等之间的相互转化都是重要的转化形式，利用极端值问题可以实现其中的一些转化目标.比如求范围问题有时可以转化为求边界值问题，根据动点条件选择函数图象问题，可以转化为研究动点在一些极端位置的情形.
　　例3 （2012年嘉兴中考）如图3，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）.
　　分析按常规求出y与x之间的函数关系式可以找到答案，但运算量大.若取几个特殊点验证图象，更容易找到正确答案.当点P运动到BD的中点时，此时，函数图象应该在第二段中点处取得最小值，这样可排除选项B，当点P运动到点C时，函数图象应该在第三段右端点取最大值，且此最大值比其它值都大，这样可确定选项D正确.考查这样的问题，有利于考查转化思想，将选择整体图象问题转化为研究原图形与图象的几个关键点，体现了整体与局部、一般与特殊之间的转化.
　　例4（2014年北京东城一模）已知：关于x的一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3=0（m>1）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根;
　　（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1>x2），若y是关于m的函数，且y=x1-3x2，求这个函数的解析式;
　　（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
　　分析（1）略;（2）y=-3/m（m>1）.
　　（3）作出函数y=-3/m（m>1）的图象，并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图4所示.易知点A，B的坐标分别为A（3，-3），B（2，-3/2）.当直线y=2m+b过点A时，可求得b=-9;过点B时，可求得b=-11/2;因此，-9<b<-11/2.