有限元课后习题答案

1.1 有限元法的基本思想和基本步骤是什么 首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

1.2有限元法有哪些优点和缺点 优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；
通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；
可以从其他CAD软件中导入建好的模型；
数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；
有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。

缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。

1.3 有限元法在机械工程中有哪些具体的应用 静力学分析 模态分析 动力学分析 热应力分析 其他分析 2.1 杆件结构划分单元的原则是什么？ 1）杆件的交点一定要取为节点 2）阶梯形杆截面变化处一定要取为节点 3）支撑点和自由端要取为节点 4）集中载荷作用处要取为节点 5）欲求位移的点要取为节点 6）单元长度不要相差太多 2.2 简述单元刚度矩阵的性质。

单元刚度矩阵是描述单元节点力与节点位移之间关系的矩阵。

2.3 有限元法基本方程中每一项的意义是什么？ {Q}---整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束力）; { }---整个结构的节点位移列阵；
[ K]---结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。

2.4 简述整体刚度矩阵的性质和特点。

对称性 奇异性 稀疏性 主对角上的元素恒为正 2.5 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。

2.6 写出平面刚架问题中单元刚度矩阵的坐标变换式 2.7 推导平面刚架局部坐标系下的单元刚度矩阵。

2.8 简述整体坐标的概念。

单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’O’Y’下的单元刚度矩阵 变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。

2.9简述平面刚架问题有限元法的基本过程。

力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。

3.1 弹性力学的基本假设是什么？ 连续性假定 弹性假定 均匀性和各向同性假定 小变形假定 无初应力假定 3.2 弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同？ 研究对象：材料力学主要研究杆件。弹性力学研究各种形状的弹性体。研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之处，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。材料力学考虑不是十分严格，只研究和适用于杆件问题。

3.3 写出弹性力学中平面问题的几何方程、物理方程及平衡方程。

3.4 简述圣维南原理。

如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系，那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。

3.5 平面应力问题和平面应变问题的区别是什么？试各举出一个典型平面应力和平面应变问题的实例。

平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度，沿板面受有平行板的面力，且沿厚度均匀分布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。

平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸，且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同，受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷，约束条件沿z向也不变，即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化。区别：平面应力问题中z方向上应力为零，平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零。

4.1 三角形常应变单元的特点是什么？ 三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。

4.2 试述平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。

思想：将整个区域分割成许多小单元，在每个单元的局部范围内采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。

步骤：选取力学模型 单元的选取、结构的离散化 选择单元的位移模式 单元的力学特性分析 建立整体结构的刚度方程 求解修改后的整体结构刚度方程 由单元的节点位移列阵计算单元应力 计算结果输出 4.3简述形函数的概念和性质。

概念：
性质：1）形函数在单元节点上的值，具有“本点为1，它点为零”的性质。2)在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1。

3）三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关，而与另外一个节点的坐标无关。

4.4 试述平面问题整体刚度矩阵的推导过程。

假设弹性体被划分为N个三角形单元和n个节点，则结构有2n个自由度。对每个三角形单元分别进行分析计算，便可得到N组方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡关系式，得到结构的整体刚度矩阵。

4.5 矩形单元的特点是什么？ 矩形单元采用了比三角形单元次数更高的位移模式，因此可以更好的反映弹性体中的位移状态和应力状态。

4.6 试述有限元方法解的收敛准则。

1）位移模式必须包含单元的刚体位移。

2）位移模式必须能包含单元的常应变。

3）位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。

4.7 某平面结构的网格划分如图所示，如何对其进行节点编号才能使半带宽最小？ 一般首选三角形单元或等参元。对平直边界可选用矩形单元，也可以同时选用两种或两种以上的单元。一般来说，集中力，集中力偶，分布在和强度的突变点，分布载荷与自由边界的分界点，支撑点都应该取为节点，相邻节点的号码差尽可能最小才能使半带宽最小。

5.1 简述等参数单元的概念。

坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数，这种单元称为等参单元。

5.2 有限元法中等参数单元的主要优点是什么？ 1）应用范围广。在平面或空间连续体，杆系结构和板壳问题中都可应用。

2）将不规则的单元变化为规则的单元后，易于构造位移模式。

3）在原结构中可以采用不规则单元，易于适用边界的形状和改变单元的大小。

4）可以灵活的增减节点，容易构造各种过度单元。5）推导过程具有通用性。一维，二维三维的推导过程基本相同。

5.3 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。

（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；
（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵（4）用虚功原理球的单元刚度矩阵，，最后用高斯积分法计算完成。

5.4 试分析平面八节点曲线四边形等参数单元的位移在两单元公共边界上的连续性。

位移模式 5.5 为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数？ 简化计算 5.6 为什么要引入雅可比矩阵？ 得到形函数的偏导关系。

6.1 ANSYS软件主要包括哪些部分？各部分的作用是什么？ 1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具，用户可以方便地构造有限元模型。2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析，可以模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出。

6.2 ANSYS软件提供的分析类型有哪些？ 结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析。

6.3 简述ANSYS软件分析静力学问题的基本流程。

1.前处理器：1）定义单元类型，2）定义实常数，3）定义材料属性，4）创建实体几何模型，5）划分网络；
2.求解器：1）定义分析类型，2）施加载荷和位移约束条件，3）求解；
3.一般后处理器。